$a,\ b$を実数とし，行列$A$を$2$次の正方行列とする．$x,\ y$についての連立$1$次方程式を，行列を用いて
\[ A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \cdots\cdots (*) \]
と表す．次に答えよ．

(1)$A=\left( \begin{array}{cc}
3 & 2 \\
6 & 4
\end{array} \right)$のとき，連立$1$次方程式$(*)$を解け．
(2)$c$を実数とし，$a \neq 0,\ b \neq 0$とする．また，$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & 1
\end{array} \right)$とする．

(i) $a \neq bc$とする．連立$1$次方程式$(*)$がただ$1$つの解をもつことを示せ．また，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$もただ$1$つの解をもつことを示せ．
(ii) 連立$1$次方程式$(*)$が解をもたないための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，連立$1$次方程式$A^2 \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)$も解をもたないことを示せ．

(iii) 連立$1$次方程式$(*)$が解を無数にもつための必要十分条件を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．この条件が成り立つとき，自然数$m$に対して，連立$1$次方程式
\[ (A+A^2+A^3+\cdots +A^{2m-1}) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
も解を無数にもつことを示せ．

$a,\ b$を実数として，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx+1$について次の各問に答えよ．

(1)微分係数$f^\prime(0)$，$f^\prime(1)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$f(x)$が極大値と極小値をもつための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3)$f(x)$が極大値と極小値をもつとき，極大値と極小値の平均が$1$となるための$a,\ b$の条件を求めて，$ab$平面上に図示せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内部の点を$\mathrm{P}$とし，直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ．
(3)直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする．その外接円の半径を$1$とし，$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．
(4)(3)と同じ条件のもとで，$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は次の条件を満たしている．

$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列

また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は次の条件を満たしている．

$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列

また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．

直線$y=mx \ (m \neq 0)$を$\ell$とし，行列$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$で表される平面上の$1$次変換$f$は次の二つの条件を満たすとする．

$\ell$の各点は$f$で動かない．
$f$は点$\mathrm{A}(1,\ 0)$を，$\mathrm{A}$を通り$\ell$に平行な直線上の点に移す．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ c,\ d$を$b,\ m$を用いて表せ．
(2)$ad-bc$の値を求めよ．
(3)$f$により平面上の任意の点$\mathrm{P}$は，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に平行な直線上の点に移ることを示せ．

$0<x<2$とする．

(1)不等式$(\log_2x)^2+5 \log_2x<-6$を解け．
(2)不等式$\sin x+\cos 2x \geqq 1$を解け．
(3)次の$[　]$に最も適切なものを$①$～$④$からひとつ選び，その理由を説明せよ．
条件$p,\ q$を，
\[ \begin{array}{lll}
p &:& (\log_2 x)^2+5 \log_2 x<-6 \\
q &:& \sin x+\cos 2x \geqq 1
\end{array} \]
とする．$p$は$q$であるための$[　]$．
$①$ 必要条件である \quad $②$ 十分条件である \quad $③$ 必要十分条件である \quad $④$ 必要条件でも十分条件でもない

座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$5$の円$C$，点$\mathrm{A}(0,\ 7)$，点$\mathrm{B}(1,\ 6)$が与えられている．点$\mathrm{P}(\alpha,\ \beta)$を中心とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円を$C(\mathrm{P})$として，以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$円$C,\ C(\mathrm{P})$が共有点をもつための条件を$\alpha$のみを用いて表せ．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面上の放物線$y=x^2-2ax$と直線$y=bx$は原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の異なる$2$点で交わる．また，放物線の頂点を$\mathrm{B}$とし，三角形$\mathrm{OAB}$を考える．以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$が直角三角形のとき，$a$と$b$の満たすべき条件を求めよ．
(3)$a=b$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$を$a$を用いて表せ．
(4)$a=b$のとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$a$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad (ⅱ) \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad (ⅲ) \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(i) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ii) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．

(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]