実数$a,\ b$に対し平面上の点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$を
\[ \begin{array}{l}
(x_0,\ y_0)=(1,\ 0) \\
(x_{n+1},\ y_{n+1})=(ax_n-by_n,\ bx_n+ay_n) \quad (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)
\end{array} \]
によって定める．このとき，次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$がともに成り立つような$(a,\ b)$をすべて求めよ．

(i) $\mathrm{P}_0=\mathrm{P}_6$
(ii) $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \mathrm{P}_4,\ \mathrm{P}_5$は相異なる．

次の命題$\mathrm{P}$を証明したい．

命題$\mathrm{P}$ \quad 次の$2$条件(a)，(b)をともに満たす自然数（$1$以上の整数）$A$が存在する．

(a) $A$は連続する$3$つの自然数の積である．
(b) $A$を$10$進法で表したとき，$1$が連続して$99$回以上現れるところがある．


以下の問いに答えよ．

(1)$y$を自然数とする．このとき不等式
\[ x^3+3yx^2<(x+y-1)(x+y)(x+y+1)<x^3+(3y+1)x^2 \]
が成り立つような正の実数$x$の範囲を求めよ．
(2)命題$\mathrm{P}$を証明せよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=1,\quad a_n=\frac{a_{n-1}}{(4n+3)a_{n-1}+5} \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{b_n\}$の漸化式を求めよ．
(2)(1)の$b_n$を用いて$c_n=b_{n+1}-b_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & -6 \\
1 & -1
\end{array} \right),\ B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が条件$AB=BA,\ c \neq 0$を満たしている．$C=A-B$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$b,\ d$を$a,\ c$で表せ．
(2)$B^2=B$を満たす$B$をすべて求めよ．
(3)(2)で求めた$B$のそれぞれについて，$C^n$を求めよ．ただし$n$は自然数である．
(4)$A^n$を求めよ．ただし$n$は自然数である．

$3$次関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たすとする．

(i) 関数$f(x)$は，$x=1$と$x=2$で極値をもつ
(ii) 整式$f(x)$を$x^2-3x+1$で割った余りは$-x+2$である．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)方程式$f(x)=0$を解け．
(3)関数$f(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．

$xy$平面において，点$(-2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_1$，点$(2,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$C_2$とする．直線$y=ax+b$を$\ell$とし，この直線$\ell$は，円$C_1$と円$C_2$の両方と共有点をもつものとする．

(1)$b=0$のとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．また，$b=0$で$a$が求めた範囲を動くとき，直線$\ell$の通る領域を図示せよ．
(2)$a \geqq 0$のとき，$a,\ b$の満たす条件を求めよ．また，この条件を満たす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．

数列$\{a_n\}$が条件
\[ \begin{array}{l}
3a_n=S_n+pn^2+qn+r \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots), \\
a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_3=5
\end{array} \]
を満たすとする．ただし，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$であり，$p,\ q,\ r$は定数である．次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)$S_{n+1}-S_n$を考えることにより，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．
(3)$b_n=a_{n+1}-a_n+3$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

点$(0,\ a)$を中心とする半径$r$の円$C$と放物線$F:y=x^2$を考える．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)円$C$と放物線$F$が点$(b,\ b^2)$で同じ接線を持つとする．ただし，$b>0$とする．このとき，$C$の中心と点$(b,\ b^2)$を結ぶ直線の傾きを$b$を用いて表せ．また，$r$を$b$を用いて表せ．
(2)(1)において$r=1$とする．このとき，$C$と$F$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(3)$C$と$F$の共有点が原点のみであるための$r$の条件を求めよ．

$a,\ b$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)=ax^2-4x+b$は，条件
\[ x^2f^{\prime\prime}(x)-xf^\prime(x)+f(x)=x^2+8 \]
を満たすとする．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)直線$\ell$が，放物線$y=x^2$の接線であり，かつ放物線$y=f(x)$の接線でもあるとき，$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2$と$y=f(x)$，および$(2)$で求めた接線$\ell$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$p,\ q$を整数とし，$p>0$とする．数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=36,\quad a_{n+1}=a_n+2pn+q \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．

(1)$a_n$を$p,\ q,\ n$を用いて表せ．
(2)$a_4>0$かつ$a_5<0$とする．このとき，$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$a_n<0$を満たす$n$の値をすべて求めよ．