関数$f(x)=xe^{-x}$について，実数$a,\ b$は次の条件を満たすものとする．

$(\mathrm{A})$ $\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=f(a) \quad (0<a<1),$
$(\mathrm{B})$ $f(1)-f(0)=f^\prime(b) \quad (0<b<1)$

また，点$(0,\ 0)$，$(a,\ e^a)$を通る直線を$\ell_1$とし，点$(1,\ 0)$，$(b,\ e^b)$を通る直線を$\ell_2$とする．

(1)$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を利用して，$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を$a,\ b$を用いずに表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点を求めよ．さらに，曲線$y=e^x$上の点$(1,\ e)$における接線と直線$\ell_2$の交点を求めよ．
(3)次の不等式が成り立つことを示せ．
\[ a<\frac{e-2}{e-1}<b<\frac{1}{2} \]
ただし，必要ならば$e=2.718 \cdots,\ \log(e-1)=0.541 \cdots$を用いてよい．

空間ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 0,\ 0)$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$を考える．$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{d}|=1$で，$\overrightarrow{b}$は$xy$平面上にあり，その$y$成分は正とする．また，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=p$とおく．

(1)$|p|<1$であることを示せ．また，$p$を用いて$\overrightarrow{b}$の成分表示を書け．
(2)$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$は相異であり，
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}=p \]
をみたすとする．$\overrightarrow{c}$の$z$成分が正のとき，$p$を用いて$\overrightarrow{c}$と$\overrightarrow{d}$の成分表示を書け．
(3)上の条件に加えて$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d}=p$であるとき$p$の値を求めよ．

次の条件を満たす四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．
\begin{align}
& \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=3, \nonumber \\
& |\overrightarrow{\mathrm{BC}}|=\sqrt{7},\quad |\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=\sqrt{6} \nonumber
\end{align}
（図は省略）
次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|$を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$から3点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(3)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

実数$p,\ q$と自然数$n$に対して
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle \frac{5}{2} & 2 \\
-\displaystyle \frac{1}{2} & 0
\end{array} \right)^n \left( \begin{array}{c}
p \\
q
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$とする．このとき$p$と$q$がみたす条件を求めよ．
(2)$(p,\ q) \neq (0,\ 0)$とする．極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{y_n}{x_n}$を求めよ．

線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}$は次の条件を満たす．
\[ \mathrm{AC}^2=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CB} \]
このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle \alpha=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{CB}}$とおく．自然数$n$について，
\[ \alpha^{n+1}=\alpha^n+\alpha^{n-1} \]
が成り立つことを証明せよ．

$a,\ b$を実数とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(x)=a \cos x+b$が，
\[ \int_0^\pi f(x) \, dx=\frac{\pi}{4}+\int_0^\pi \{f(x)\}^3 \, dx \]
をみたすとする．このとき，$a,\ b$がみたす関係式を求めよ．
(2)(1)で求めた関係式をみたす正の数$b$が存在するための$a$の条件を求めよ．

一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は内積に関する条件$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}$，および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}$をみたす．辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$は，平面$\mathrm{OMN}$に垂直であるとする．このとき，長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$，および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

$1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードがある．これらを無作為に$1$列に並べる試行を行う．

(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ．
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ．
(3)条件(A)，(B)が同時に成り立つ確率を求めよ．
ただし，条件(A)，(B)は次の通りである．
\mon[(A)] 番号$1$のカードと番号$2$のカードは隣り合わない．
\mon[(B)] 番号$8$のカードと番号$9$のカードの間には，ちょうど$1$枚のカードがある．

$a,\ b$を正の実数とし，円$C_1:(x-a)^2+y^2=a^2$と楕円$\displaystyle C_2:x^2+\frac{y^2}{b^2}=1$を考える．

(1)$C_1$が$C_2$に内接するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$\displaystyle b=\frac{1}{\sqrt{3}}$とし，$C_1$が$C_2$に内接しているとする．このとき，第1象限における$C_1$と$C_2$の接点の座標$(p,\ q)$を求めよ．
(3)(2)の条件のもとで，$x \geqq p$の範囲において，$C_1$と$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\theta$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{rr}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$k$に対して$A^k=\left( \begin{array}{rr}
\cos k\theta & \sin k\theta \\
-\sin k\theta & \cos k\theta
\end{array} \right)$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ．
(2)$n$は2以上の自然数とし，$\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{n}$とする．$B=A+A^2+\cdots +A^{n-1}$とおくとき，$AB=B+E-A$が成り立つことを示せ．ただし，$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．
(3)(2)の条件のもとで，$B=-E$が成り立つことを示せ．