$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．

以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

$2$次関数$y=-x^2+3$のグラフを$C_1$とし，$1$次関数$y=2x+3$のグラフを$\ell_1$とする．以下の$2$つの条件を満たす放物線を$C_2$とする．

条件$1.$ $C_2$は$C_1$を平行移動した放物線であり，点$(1,\ 2)$は$C_1$と$C_2$の共有点である．
条件$2.$ $C_2$の頂点は$\ell_1$上にあり，その$x$座標は正の数である．

$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$\ell_2$とする．

(1)$C_2$をグラフとする$2$次関数は$y=[ア]$である．
(2)$\ell_2$をグラフとする$1$次関数は$y=[イ]$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積は$[ウ]$である．

$y=f(x)=x^3-4x$上の点$(a,\ a^3-4a)$で$f(x)$に接する直線がこの接点以外で交わるとする．その交点の座標を求めよ．また，その$y$座標が正となるための$a$の条件を求めよ．

$f(x)=ax+b$とする．ただし$a \neq 0$．定積分
\[ I=\int_0^1 [\{f(x)\}^2+2xf(x)] \, dx \]
を考える．以下の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx=1$のとき，$I$を$a$で表せ．
(2)$(1)$の条件のとき，$I$を最小にする$f(x)$と$I$の最小値を求めよ．
(3)$b=0$とするとき，$I$を最小にする$f(x)$と$I$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^u te^{-t} \, dt=[ホ]ue^{-u}+[マ]e^{-u}+[ミ]$であり，これより
\[ \lim_{u \to \infty} \int_0^u te^{-t} \, dt=[ム] \]
である．
(2)定義域が実数全体であり値が実数である連続関数$f(x)$と正の定数$a$が次の$2$つの条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たしているとする．

(i) 任意の実数$x$に対して
\[ \int_0^2 (3x+t)e^{t-x} f(t) \, dt=af(x) \]
が成り立つ．
(ii) $\displaystyle \lim_{u \to \infty} \int_0^u f(t) \, dt=1$が成り立つ．

このとき$a=[メ]+[モ] \sqrt{[ヤ]}$であり，また
\[ f(x)=(3Ax+B)e^{kx} \]
ただし，$A=[ユ]+[ヨ] \sqrt{[ラ]}$

\qquad $B=[リ]+[ル] \sqrt{[レ]}$
\qquad\,$k=[ロ]$

である．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．

$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える．$(*)$を満たす$M$に対して，実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい．
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば，$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい．
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい．ただし，本問においては$\log_{10}2=0.301$とする．

$a,\ b$は定数で，$a \geqq b$である．

(1)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$の$2$つの解が正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．
(2)$2$次方程式$x^2-ax+b=0$および$x^2-bx+a=0$の解がすべて正の整数であるとき，$a,\ b$が満たすべき条件を求めよ．

三辺の長さ$x,\ y,\ z$がすべて自然数であり，$x+y+z=100$，$1 \leqq x \leqq y \leqq z$を満たす三角形について考える．ただし，合同な三角形は同一視して考える．次の問に答えなさい．

(1)最大辺の長さ$z$の取り得る値の範囲を求めなさい．
(2)与えられた条件を満たす三角形のうち，最大辺の長さが$45$の三角形は何個あるか．
(3)与えられた条件を満たす三角形は全部で何個あるか．

互いに異なる$2$つの正の実数$a,\ b$をそれぞれ底とする$2$つの対数関数を考え，これらのグラフ$C_a:y=\log_ax$，および，$C_b:y=\log_bx$を図に示した．また，図中の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$はそれぞれ，直線$x=t (t>0,\ t \neq 1)$と$C_a$，$C_b$，および$x$軸との交点である．$t=a$のとき，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}=3:2$であった．次の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)$a,\ b,\ 1$それぞれの間に成り立つ大小関係を調べなさい．
(2)条件$t \neq 1$，$t>0$を満たす任意の実数$t$に対して定まる$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{T}$について，$\mathrm{AT}:\mathrm{BT}$を求めなさい．
(3)図中の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は各々$C_a$，$C_b$上の点であり，各々の$y$座標は互いに等しく，点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$8$である．このとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標$u$の値を求めなさい．