座標空間において原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と，$3$点$\mathrm{A}(a,\ a,\ b)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ a)$，$\mathrm{C}(b,\ a,\ a)$ $(b>a \geqq 0)$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$が正四面体となる条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(4)$a,\ b$がともに自然数のとき，$(3)$の条件を満たす$b$の最小値と，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．また，そのときの$S$と$V$を求めよ．

空間に，同一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1\,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
を満たしている．$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面を$\alpha$とし，$\alpha$上にない点$\mathrm{P}$を次の条件を満たすようにとる．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1 \]
点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とすると
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
となる．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=p$とおくと，$\triangle \mathrm{OPH}$の面積は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \sqrt{[キ]p^2-[ク]} \]
と表される．

$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\triangle \mathrm{OPH}$の面積の$2$倍に等しいとき
\[ p^2=\frac{[ケコ]}{[サシ]} \]
である．またこのとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{5}{3} \overrightarrow{\mathrm{PO}}$を満たす点$\mathrm{Q}$をとると，四面体$\mathrm{QOAH}$の体積は
\[ \frac{\sqrt{[ス]}}{[セソ]} \]
である．

行列$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$について考える．点$\mathrm{P}_0$の座標を$(1,\ 0)$とし，$n$を正の整数とするとき，$f$によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移される点を$\mathrm{P}_n$とする．また，$\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_k}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}_n}$となる点$\mathrm{Q}_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とし，$n \to \infty$のときに$x_n,\ y_n$がともに収束する場合の点$\mathrm{Q}_n$の極限値$\displaystyle \mathrm{Q} \left( \lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n \right)$を求めよう．

(1)$\displaystyle r=\frac{1}{2}$，$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$のとき，$\displaystyle A^3=\frac{[アイ]}{[ウ]} \left( \begin{array}{cc}
[エ] & [オ] \\
[オ] & [エ]
\end{array} \right)$であり，$\mathrm{P}_7$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[カ]}{[キクケ]},\ \frac{\sqrt{[コ]}}{[キクケ]} \right)$である．
(2)$E-A$が逆行列をもたない$r,\ \theta (r \geqq 0,\ 0 \leqq \theta<2\pi)$の条件は，$r=[サ]$かつ$\theta=[シ]$である．ただし，$E$は単位行列とする．
$E-A$が逆行列をもつとき，$n$を$2$以上の整数とすると
$(E-A)(E+A+A^2+\cdots +A^{n-1})=E-A^n$より
\[ E+A+A^2+\cdots +A^{n-1}=(E-A)^{-1}(E-A^n) \]
また，$\displaystyle (E-A)^{-1}=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1} \left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & 1-r \cos \theta
\end{array} \right)$であるから
$\displaystyle (E-A)^{-1}(E-A^n)=\frac{1}{r^2-2r \cos \theta+1}T$とすると
\[ T=\left( \begin{array}{cc}
1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ] & -r \sin \theta+r^n [ソ]-r^{n+1} [タ] \\
r \sin \theta-r^n [ソ]+r^{n+1} [タ] & 1-r \cos \theta-r^n [ス]+r^{n+1} [セ]
\end{array} \right) \]
である．ただし，$[ス]$，$[セ]$，$[ソ]$，$[タ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．なお，同じ選択肢を選んでもよいものとする．
\[ \nagamaruichi \ \sin n\theta \quad \nagamaruni \ \cos n\theta \quad \nagamarusan \ \sin (n-1) \theta \quad \nagamarushi \ \cos (n-1) \theta \quad \nagamarugo \ \sin (n+1) \theta \quad \nagamaruroku \ \cos (n+1) \theta \]
$0 \leqq r<1$のとき，$\lim_{n \to \infty} x_n,\ \lim_{n \to \infty} y_n$はともに収束し，さらに$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{3}$とすると，
\[ \mathrm{Q}=\left( \frac{[チ]-r}{[ツ]-2r+[テ]r^2},\ \frac{\sqrt{[ト]}r}{[ツ]-2r+[テ]r^2} \right) \]
である．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=\frac{1}{2},\quad a_2=\frac{1}{3},\quad a_{n+2}=\frac{a_na_{n+1}}{2a_n-a_{n+1}+2a_na_{n+1}} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$\displaystyle \frac{1}{a_n}=b_n$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_{n+2}$を$b_{n+1}$と$b_n$を用いて表せ．
(2)$c_n=b_{n+1}-b_n$とおくとき，数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．

座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$が条件$2a^2+b=1$をみたしながら動くとき，点$\mathrm{Q}(-4a-b,\ -a)$の描く軌跡を座標平面内に図示せよ．

次の問について，答えを$[　]$に記入せよ．

(1)$x=3+\sqrt{5}$，$y=3-\sqrt{5}$のとき，$4x^2+3xy+4y^2=[ア]$，$\displaystyle \frac{y}{x}+\frac{x}{y}=[イ]$である．
(2)関数$f(x)=-x^2+8x+c (2 \leqq x \leqq 5)$の最小値が$1$のとき，$c=[ウ]$である．また，そのときの$f(x)$の最大値は$[エ]$である．
(3)放物線$C_1:y=(x-p)^2+q$が放物線$C_2:y=-x^2$に接するとき，$p,\ q$の満たす条件は$[オ]$である．これより，$p$がすべての実数値をとって変わるとき，$C_1$の頂点が描く軌跡は放物線であり，その方程式は$[カ]$である．
(4)放物線$C:y=x^2+x$と直線$\ell_1:y=-x$との$2$つの交点のうち，原点ではない交点の$x$座標を$x_0$とすると，$x_0=[キ]$である．$C$と$\ell_1$によって囲まれた部分の面積を$S_1$とし，$C$，$\ell_1$および直線$\ell_2:x=-4$によって囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$S_1+S_2=[ク]$である．

$A,\ B$は共に実数を成分とする$2$次の正方行列で，条件
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
4 & -1 \\
-6 & 3
\end{array} \right),\quad A^{-1}B=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{6} & \displaystyle\frac{1}{3} \\
-\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{3} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]
を満たすものとする．

(1)$B^{-1}A=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ア} & -\mkakko{イ} \\
\mkakko{ウ} & -\mkakko{エ}
\end{array} \right)$である．

(2)$A^2=\left( \begin{array}{cc}
\mkakko{オ} & -\mkakko{カ} \\
\mkakko{キ} & \mkakko{ク}
\end{array} \right)$である．

(3)条件を満たす$A$は以下の$4$つである．
\[ A=\pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{ケ} & -\displaystyle\frac{\mkakko{コ}}{\mkakko{サ}} \\
\mkakko{シ} & \mkakko{ス} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right),\quad \pm \left( \begin{array}{cc}
\mkakko{セ} & \mkakko{ソ} \\
\mkakko{タ} & -\mkakko{チ} \phantom{\frac{[　]}{2}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\end{array} \right) \]

$r$は$2$以上$9$以下の自然数とする．$n$を$r$以上の自然数として，次の条件を満たす$n$桁の自然数を考える．

(i) 各位の数は$1$から$r$までの数$1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどれかである．
(ii) $1,\ 2,\ \cdots,\ r$のどの一つも必ずどこかの位に現れる．

このような自然数全体の集合を考え，この集合の要素の個数を$_r \mathrm{S}_n$とおく．また，この集合のすべての要素の和を$f_r(n)$とおく．

(1)$r=2$とする．

(i) $_2 \mathrm{S}_2=[ア]$，$_2 \mathrm{S}_3=[イ]$である．

一般に，$_2 \mathrm{S}_n={[ウ]}^n-[エ]$である．

(ii) $f_2(2)=[オ][カ]$，$f_2(3)=[キ][ク][ケ]$である．

一般に，$\displaystyle f_2(n)=\frac{[コ]}{[サ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {_2 \mathrm{S}_n}$が成り立つ．

(2)$r=3$とする．

(i) $_3 \mathrm{S}_n={[セ]}^n-[ソ] \cdot {[ウ]}^n+[タ]$である．

(ii) $f_3(n)=\frac{[チ]}{[ツ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_3 \mathrm{S}_n$が成り立つ．

(3)$r=4$とする．

(i) $_4 \mathrm{S}_n={[テ]}^n-[ト] \cdot {[セ]}^n+[ナ] \cdot {[ウ]}^n-[ニ]$である．

(ii) $f_4(n)=\frac{[ヌ]}{[ネ][ノ]}({[シ][ス]}^n-1) \cdot {}_4 \mathrm{S}_n$が成り立つ．

$\{a_n\}$を次の条件によって定められる数列とする．
\[ a_1=1,\quad \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．

(1)$a_{30}$の値は$[エ]$であり，$S_{40}$の値は$[オ]$である．
(2)$\displaystyle b_n=\frac{S_n}{2}+\frac{2}{S_n}$とし，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$T_n$とする．このとき，$T_{50}$の値は$[カ]$である．