条件${0}^{\circ} \leqq a \leqq {180}^{\circ}$を満たす$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\sin (x+a)-\sqrt{3} \cos (x+a) \]
と定める．$x$が$0^\circ \leqq x \leqq {90}^\circ$の範囲を動くとき，$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

$x$の$2$次方程式$x^2+ax+b=0$について，以下の問いに答えよ．

(1)この方程式が異なる$2$つの実数解をもたない条件を$a,\ b$の不等式で表せ．
(2)$(1)$の不等式を満たす点$(a,\ b)$の領域を図示せよ．
(3)$a,\ b$が$(1)$の不等式を満たすとき，$a+b$の最小値と，その最小値を与える$a,\ b$の値を求めよ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$x$についての多項式$P(x)$を$x^2+x+1$で割った余りが$x+1$，$x^2-x+1$で割った余りが$x-1$のとき，$P(x)$を$(x^2+x+1)(x^2-x+1)$で割った余りは$[ア]$である．
(2)関数$f(x)$が次の条件を満たすとき，$f(x)=[イ]$である．
任意の実数$x$に対して，$\displaystyle \int_0^x f(t) \, dt-3 \int_{-x}^0 f(t) \, dt=x^3$
(3)次の等式を満たす最大の整数$a$は$a=[ウ]$である．
\[ \left[ \frac{a}{2} \right]+\left[ \frac{2a}{3} \right]=a \]
ただし，実数$x$に対して，$[x]$は$x$以下の最大の整数を表す．
(4)四面体$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=7$，$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{BC}=\mathrm{DA}=5$である．$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を，それぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$上の点とするとき，$\mathrm{PQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RS}+\mathrm{SP}$の最小値は$[エ]$である．

空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ t,\ -1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 2,\ 0)$がある．ただし，$t$は定数とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の$[　]$にあてはまる答を求めよ．

(1)$\overrightarrow{a}$の大きさ$|\overrightarrow{a}|$は$[サ]$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$のなす角$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$は$\theta=[シ]$である．また，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が${135}^\circ$となるような$t$の値は$t=[ス]$または$t=[セ]$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とするとき，$S$を$t$を用いて表すと$S=[ソ]$である．また，条件$\displaystyle S \geqq \frac{\sqrt{21}}{2}$を満たす$t$のとり得る値の範囲は$[タ]$である．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」

放物線$y=x^2+ax-1$と直線$y=x+b$について，次の問いに答えよ．

(1)放物線と直線が$2$つの交点を持つための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(2)$2$つの交点の距離が$1$となるための条件を，$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$2$つの交点を結んだ線分の中点がちょうど原点となるときの$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．

$n$を自然数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定は何か．
(2)「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」の否定の条件を満たす$n$のうち，小さい方から$4$番目の値を求めよ．
(3)$20$以下の自然数$n$の中で，次の個数を求めよ．「$n$は偶数である，または，$n$は$7$の倍数である．」

関数$y=f(x)=x^2-4x$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$移動したときのグラフを表す関数を$y=g(x)$とする．また直線$L$を$y=ax-3a-7$（$a$は定数）とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$y=g(x)$を表す式を求めよ．
(2)$y=f(x)$と直線$L$が異なる$2$点で交わるための条件を求めよ．
(3)$y=g(x)$と直線$L$が接するとき，接点の座標を求めよ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

$a$を実数とする．極値を持つ$3$次関数$f(x)=x^3-ax$について考える．$3$次関数$y=f(x)$が極値を持つための$a$の満たすべき条件は$[ア]$であり，そのとき，極小値は$[イ]$である．このとき，座標平面で曲線$C:y=f(x)$上の原点以外の点$\mathrm{P}(p,\ f(p))$における曲線$C$の接線$L$の方程式は$[ウ]$と表せる．また，曲線$C$と接線$L$の点$\mathrm{P}$以外の共有点$\mathrm{Q}$の$x$座標$q$は，$q=[エ]$となる．また，点$\mathrm{P}$と異なる曲線$C$上の点$\mathrm{R}(r,\ f(r))$における接線が接線$L$と平行であるとき，$r=[オ]$である．$\triangle \mathrm{PQR}$の面積$M$を求めると$M=[カ]$である．さらに，曲線$C$を$x$軸正の方向に$t (t>0)$だけ平行移動した曲線を$D$とするとき，この$2$曲線$C$と$D$とが異なる$2$つの共有点を持つための$t$の満たすべき条件は$[キ]$である．そのときの$2$つの共有点の$x$座標を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，$\alpha=[ク]$であり，$\beta=[ケ]$となる．このとき，$2$曲線$C$と$D$とで囲まれる図形の面積$S$を求めると$S=[コ]$である．

$p,\ q$を実数とする$t$に関する$2$次方程式$t^2+pt+q=0$の解が虚数になるとき，次の問いに答えよ．

(1)解の$1$つを$\alpha$とするとき，$\alpha (2-\alpha)$が実数でありかつ$\alpha (2-\alpha)<2$となるための$p,\ q$の条件を求めよ．
(2)虚部が負の解を$\beta$とする．$(1)$の条件のもとで$\beta (1-\beta)$の実部を$y$，虚部を$x$として，座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求めよ．
(3)$(2)$で求めた軌跡上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と定点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$との距離が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標と距離$\mathrm{PQ}$を求めよ．