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私立 近畿大学 2014年 第2問条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
私立 近畿大学 2014年 第2問条件$(x-2)^2+(y-2)^2=4$を満たす実数$x,\ y$を考える．$t=x+y$とおく．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
(1)$t$のとりうる値の範囲は
\[ [ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \leqq t \leqq [エ]+[オ] \sqrt{[カ]} \]
である．
(2)$z=x^3+y^3-6xy$を$t$で表すと
\[ z=-\frac{[キ]}{[ク]} t^3+[ケ]t^2+[コ]t-[サシ] \]
となり，$z$の最大値は$[ス]+[セソ] \sqrt{[タ]}$であり，$z$の最小値は$[チ]-[ツ] \sqrt{[テ]}$である．
私立 金沢工業大学 2014年 第2問次の$[ ]$に当てはまるものを下記の$①$～$④$のうちから一つ選び，その番号をマークせよ．ただし，同じものをくり返し選んでもよい．
$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．
このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]
$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．条件$p,\ q,\ r,\ s,\ t$を次のように定める．
$p:$方程式$ax^2+bx+c=0$は異なる$2$つの実数解をもつ．
$q:$座標平面で関数$y=ax^2+bx+c$のグラフは$x$軸と異なる$2$点で交わる．
$r:ac<0$である．
$s:b^2-ac>0$である．
$t:(a+b+c)(a-b+c)<0$である．
このとき，$q$は$p$の$[ケ]$．$r$は$q$の$[コ]$．$s$は$p$の$[サ]$．$t$は$q$の$[シ]$．
\[ \begin{array}{ll}
① \text{必要十分条件である} & ② \text{必要条件であるが，十分条件でない} \\
③ \text{十分条件であるが，必要条件でない} & ④ \text{必要条件でも十分条件でもない}
\end{array} \]
私立 学習院大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とし，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$とする．このとき，$3$つの条件
\[ (a+b+c)(a-b+c)=3ac,\quad \sin A \sin C=\frac{1+\sqrt{3}}{4},\quad A \leqq C \]
が成り立っているとする．
(1)$\cos B$を求めよ．
(2)$A,\ B,\ C$を求めよ．
\[ (a+b+c)(a-b+c)=3ac,\quad \sin A \sin C=\frac{1+\sqrt{3}}{4},\quad A \leqq C \]
が成り立っているとする．
(1)$\cos B$を求めよ．
(2)$A,\ B,\ C$を求めよ．
私立 学習院大学 2014年 第3問平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ a)$，$\mathrm{B}(-t,\ t^2-a)$，$\mathrm{C}(t,\ t^2-a)$があり，条件
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．
\[ a>0,\quad 0<t \leqq \sqrt{a},\quad \triangle \mathrm{ABC} \text{は正三角形} \]
が成り立っているとする．
(1)$a$を$t$で表せ．
(2)$0<t \leqq \sqrt{3}$であることを示せ．
(3)$2$つの放物線$y=x^2-a$，$y=-x^2+a$で囲まれた部分の面積を$S$とし，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$T$とする．$t$が$(2)$の範囲を動くとき，$\displaystyle \frac{S}{T}$の最小値を求めよ．
私立 学習院大学 2014年 第1問平面上に$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$がある．$4$つのサイコロ$\mathrm{S}_\mathrm{A}$，$\mathrm{S}_\mathrm{B}$，$\mathrm{S}_\mathrm{C}$，$\mathrm{S}_\mathrm{D}$を同時に投げて，出た目を，それぞれのサイコロに対応する点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$に割り当てる．下の$3$つの図のそれぞれについて，次の（条件）が成り立つ確率を求めよ．
（図は省略）
（条件）図のどの線分についても，線分の両端の点には相異なる数が割り当てられている．
（図は省略）
（条件）図のどの線分についても，線分の両端の点には相異なる数が割り当てられている．
私立 早稲田大学 2014年 第3問次の各問に答えよ．ただし，$(2)$は答のみ解答欄に記入せよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2)$2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．
(i) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ii) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(iii) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2)$2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．
(i) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ii) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(iii) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第3問$a,\ b,\ c$は整数，$n$は$0$以上の整数とする．座標空間において，次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$を満たす点$(a,\ b,\ c)$の個数を$S(n)$とする．
$(ⅰ)$ $a+b+c=0$
$(ⅱ)$ $|a|+|b|+|c| \leqq n$
次の設問に答えよ．
(1)$S(2)$を求めよ．
(2)$S(2n)$を求めよ．
$(ⅰ)$ $a+b+c=0$
$(ⅱ)$ $|a|+|b|+|c| \leqq n$
次の設問に答えよ．
(1)$S(2)$を求めよ．
(2)$S(2n)$を求めよ．
私立 早稲田大学 2014年 第3問条件$\log_2 (y-1)=\log_2 (x-2)+\log_2 (x-3)$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合が$xy$平面上に描く曲線を$A$とする．次の問に答えよ．
(1)曲線$A$を図示せよ．
(2)直線$y=\alpha x+\beta$が曲線$A$の接線であるとき，$\alpha$と$\beta$の間に成り立つ関係式を求めよ．また，$\alpha$と$\beta$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=ax+b$が曲線$A$と共有点をもたないような$a,\ b$の条件を求めよ．
(1)曲線$A$を図示せよ．
(2)直線$y=\alpha x+\beta$が曲線$A$の接線であるとき，$\alpha$と$\beta$の間に成り立つ関係式を求めよ．また，$\alpha$と$\beta$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=ax+b$が曲線$A$と共有点をもたないような$a,\ b$の条件を求めよ．
私立 津田塾大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$|y|<|x|$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$|y|<|x|$の表す領域が不等式$(x-a)^2+(y-b)^2 \leqq 1$の表す領域を含むための点$(a,\ b)$の条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．
(1)不等式$|y|<|x|$の表す領域を図示せよ．
(2)不等式$|y|<|x|$の表す領域が不等式$(x-a)^2+(y-b)^2 \leqq 1$の表す領域を含むための点$(a,\ b)$の条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．