$a,\ b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a=1,\ b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,\ 1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,\ b)$を座標平面上に図示することで与えよ．

関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=-7+k \int_0^6 |x-u| \, du$と定義する．ただし，$k$は定数，$f(3)=-5$である．次の各問に答えなさい．

(1)$k$の値を求めなさい．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(3)実数$s,\ t$が条件$0 \leqq s \leqq 20$，$0 \leqq t \leqq 20$を満たしながら動くとき，$xy$座標平面上の点
\[ \mathrm{P} \left( \frac{1}{2}s+\frac{1}{10}t,\ -\frac{1}{4}s-\frac{1}{5}t \right) \]
が動く領域$D$を求めなさい．
(4)不等式$y \geqq f(x)$の表す領域を$E$とするとき，領域$E$と領域$D$の共通部分の面積を求めなさい．

自然数$n$に対し，$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく．$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し，次の$2$つの条件を考える．

条件$\mathrm{C}_{12}$：$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
条件$\mathrm{C}_{123}$：$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で，$x_i=1$，$x_j=2$，$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する．
例えば，$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが，条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない．
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち，条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$，条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく．このとき以下の各問いに答えよ．

(1)$f(4)$と$g(4)$を求めよ．
(2)$f(n)$を$n$を用いて表せ．
(3)$g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ．
(4)$g(n)$を$n$を用いて表せ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$について，次の問に答えよ．

$a_1=3,\quad b_1=4,$
$2a_{n+1}+b_{n+1}=3a_n+1,\quad -a_{n+1}-2b_{n+1}=3b_n-17 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(1)$c_n=a_n-a$，$d_n=b_n-b$とおいて
\[ \left( \begin{array}{c}
c_{n+1} \\
d_{n+1}
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
-1 & -2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
c_n \\
d_n
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となる定数$a,\ b$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の異なる実数解の個数が$2$個であるとき，実数$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$x$についての$4$次方程式$x^4+ax^2+b=0$の異なる実数解の個数が$4$個であるとき，実数$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(3)$x$についての$4$次方程式$x^4+ax^2+b=0$の異なる実数解の個数が$2$個であるとき，実数$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(4)$a,\ b$が$(3)$の条件をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在する領域を$ab$平面上に図示せよ．

実数$a$に対して，下の$4$つの条件$p,\ q,\ r,\ s$を考える．ただし，実数$k$に対して，$[k]$は$k$以下の最大の整数を表し，$\langle k \rangle$は$k$以上の最小の整数を表すとする．たとえば，$k=2.15$のとき，$[k]=2$であり，$\langle k \rangle=3$である．また，$|k|$は$k$の絶対値を表す．

$p:x^2+4x+a^2=0$を満たす実数$x$が存在する．
$q:[a]<\langle a \rangle$
$\displaystyle r:|a-1.5|<\frac{1}{|a-1.5|+1.5}$
$\displaystyle s:0<a<\pi$，かつ，$\displaystyle \sin \left( 2a-\frac{\pi}{4} \right)+\sin \left( 2a+\frac{\pi}{4} \right)=0$

上の$p,\ q,\ r,\ s$それぞれについて，条件を満たす$a$の範囲を求めよ．さらに，以下の$①$，$②$，$③$それぞれについて，$p,\ q,\ r,\ s$の中から，あてはまるものを全て答えよ．

$①$ $p$であるための十分条件である．
$②$ $q$であるための十分条件である．
$③$ $r$であるための十分条件である．

$\alpha,\ \beta$は正の実数とする．次の条件によって定義される数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について，以下の問に答えよ．

$a_1=\alpha,\quad b_1=\beta,$
$a_{n+1}=\alpha a_n-\beta b_n,\quad b_{n+1}=\beta a_n+\alpha b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

(1)$\alpha^2+\beta^2 \leqq 1$が成り立つならば，任意の自然数$n$に対して${a_n}^2+{b_n}^2 \leqq 1$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \alpha=\cos \theta,\ \beta=\sin \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$と表されているとき，$a_2$，$b_2$，$a_3$，$b_3$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$a_{12}=1$，$b_{12}=0$となるような正の実数の組$(\alpha,\ \beta)$を全て求めよ．

平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の条件をみたしているとする．

$(ⅰ)$ $\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=10$
$(ⅱ)$ $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
$(ⅲ)$ $3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．

また，$\angle \mathrm{DAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{BCD}=\beta$とし，線分$\mathrm{BD}$の長さを$d$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$d^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$d^2$を$\beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$がみたす関係式を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$\alpha,\ \beta$と円の半径$R$を求めよ．

次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を同時に満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(i) $y$は$x$の整数倍である
(ii) $x \geqq 2$
(iii) $x^2+6!=y^2$

次の条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$を同時に満たす整数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．

(i) $y$は$x$の整数倍である
(ii) $x \geqq 2$
(iii) $x^2+6!=y^2$