半径$1$の$2$つの球$S_1$と$S_2$が$1$点で接している．互いに重なる部分のない等しい半径を持つ$n$個（$n \geqq 3$）の球$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$があり，次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $T_i$は$S_1$，$S_2$にそれぞれ$1$点で接している（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$）．
\mon[（イ）] $T_i$は$T_{i+1}$に$1$点で接しており（$i=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$），そして$T_n$は$T_1$に$1$点で接している．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の共通の半径$r_n$を求めよ．
(2)$S_1$と$S_2$の中心を結ぶ直線のまわりに$T_1$を回転してできる回転体の体積を$V_n$とし，$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n$の体積の和を$W_n$とするとき，極限
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{W_n}{V_n} \]
を求めよ．

座標平面上に，円$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$と点$\mathrm{Q}(1,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(3,\ 0)$とし，$x$軸上の点$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$を以下の条件によって決め，$\mathrm{P}_n$の座標を$(p_n,\ 0)$とする．

点$\mathrm{P}_n$から円$C$に接線を引き，その$y$座標が正である接点を$\mathrm{T}_n$とする．このとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$は同一直線上にある．（$n=1,\ 2,\ \cdots$）

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{T}_1$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{T}_n$の座標を$p_n$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}_n$の座標を$n$の式で表せ．

$a$を正の定数とする．条件
\[ \cos \theta-\sin \theta=a \sin \theta \cos \theta,\quad 0<\theta<\pi \]
を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)条件を満たす$\theta$は，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．
(2)条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．

$a$を正の定数とする．条件
\[ \cos \theta-\sin \theta=a \sin \theta \cos \theta,\quad 0<\theta<\pi \]
を満たす$\theta$について，以下の問いに答えよ．

(1)条件を満たす$\theta$は，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲で，ただ$1$つ存在することを示せ．
(2)条件を満たす$\theta$の個数を求めよ．

$1$次関数$f_n(x)=a_nx+b_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は以下の$2$つの条件を満たすとする．

(i) $f_1(x)=x$
(ii) $f_{n+1}(x)$は整式$\displaystyle P_n(x)=\int_1^x 6tf_n(t) \, dt$を$x^2+x$で割ったときの余りに等しい．

以下の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 1$のとき，$a_{n+1}$，$b_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は偶数であることを示せ．
(3)$n \geqq 2$のとき，$|a_n|$と$|b_n|$は$3$の倍数ではないことを示せ．

次の$3$つの条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(i) $a_1=0$
(ii) $a_1<a_2<\cdots<a_n<a_{n+1}<\cdots$
(iii) 放物線$y=x^2$と，その上の点$(a_n,\ {a_n}^2)$における接線と，直線$x=a_{n+1}$とで囲まれる図形の面積が$8^n$になる．

放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$が次の条件をみたしている．
\[ 0<p<q,\quad \angle \mathrm{POQ}=\frac{\pi}{4} \]
ただし$\mathrm{O}$は原点である．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$p$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$q$を$p$の式で表せ．
(3)点$\mathrm{R}$の$x$座標，$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ．
(4)点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ．
(5)点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

座標空間に立方体$K$があり，原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}(a,\ b,\ 0)$，$\mathrm{B}(r,\ s,\ t)$，$\mathrm{C}(3,\ 0,\ 0)$が次の条件をみたしている．

(i) $\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$は立方体$K$の辺である．
(ii) $\mathrm{OC}$は立方体$K$の辺ではない．
(iii) $b>0,\ t>0$

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)立方体$K$の一辺の長さ$l$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(4)辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}(x,\ 0,\ 0)$とする．$\mathrm{PH}$の長さを$x$を用いて表せ．
(5)立方体$K$を$x$軸を回転軸として$1$回転させて得られる回転体の体積$V$を求めよ．

$a,\ b$を実数とするとき，関数$f(x)=x^3-ax^2+bx$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフ上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式を求めよ．
(2)$a=1,\ b=-1$のとき，$y=f(x)$のグラフの接線で点$(-1,\ 1)$を通るものは何本あるか答えよ．また，このときの各接点の$x$座標を求めよ．
(3)$y=f(x)$のグラフが傾き$1$の接線をちょうど$2$本持つための条件を，実数の組$(a,\ b)$を座標平面上に図示することで与えよ．