あるバクテリアをある条件の下で培養した場合，生存している$1$個が，$1$時間後には$1$回分裂して$2$個ともに生存しているか，あるいは死滅しているかであり，$2$個とも生存している確率が$p$，死滅している確率が$1-p$であるという．このバクテリアがこの条件の下で最初$1$個生存していたとき，$n$時間後に$1$個以上生存している確率を$P_n$とおく．ただし，$n$は自然数とする．

(1)$P_2,\ P_3$をそれぞれ$p$の式で表せ．
(2)$P_{n+1}$を$p$と$P_n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．
(4)$a$を$2$より大きな実数とする．$\displaystyle p=\frac{a-1}{a}$，$\displaystyle Q_n=P_n-\frac{a-2}{a-1}$としたとき，$0<Q_{n+1}<Q_n$であることを示せ．
(5)$p$が$(4)$と同じときの$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$を求めよ．

座標平面上に，原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$がある．原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{u}=(2,\ -1)$を方向ベクトルとする直線を$\ell$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{P}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+t \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{Q}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．

座標平面上の直線$y=-1$を$\ell_1$，直線$y=1$を$\ell_2$とし，$x$軸上の$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$を考える．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，次の条件を考える．
\[ d(\mathrm{P},\ \ell_1) \geqq \mathrm{PO} \quad \text{かつ} \quad d(\mathrm{P},\ \ell_2) \geqq \mathrm{PA} \quad \cdots\cdots① \]
ただし，$d(\mathrm{P},\ \ell)$は点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の距離である．

(1)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$全体がなす図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．ただし，$a$の値は$(1)$で求めた範囲にあるとする．

$a,\ b$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+ax^2+x-2$と直線$\ell:y=bx-2$が異なる$3$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$3$つの交点それぞれにおける$C$の接線の中に，傾きが$1$より大きいものと，$1$より小さいものがどちらも存在するための$a,\ b$の条件を求め，その条件をみたす$ab$平面上の点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は，条件$\angle \mathrm{B}=2 \angle \mathrm{A}$，$\mathrm{BC}=1$を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする．このとき，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．

$t>0$において定義された関数$f(t)$は次の条件（ア），（イ）を満たす．

\mon[（ア）] $t>0$のとき，すべての実数$x$に対して不等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t) \geqq 1+x \]
が成り立つ．
\mon[（イ）] $t>0$に対して，等式
\[ t \cdot \frac{e^x+e^{-x}}{2}+f(t)=1+x \]
を満たす実数$x$が存在する．
このとき，$f(t)$を求めよ．

$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2+\frac{3}{2},\quad C_2:y=(x-a)^2+a \quad (a>0) \]
がある．点$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( p,\ -p^2+\frac{3}{2} \right)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないための$a$に関する条件を求めよ．
(2)$\ell_1$と平行な$C_2$の接線$\ell_2$の方程式と，$\ell_2$と$C_2$の接点$\mathrm{P}_2$の座標を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)$C_1$と$C_2$が共有点を持たないとする．$(2)$で求めた$\mathrm{P}_2$と$\mathrm{P}_1$を結ぶ線分が$\ell_1$と垂直になるとき，$p$を求めよ．

次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+3a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)以下が成立するように，実数$s,\ t (s>t)$を定めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+2}-sa_{n+1}=t(a_{n+1}-sa_n) \\
a_{n+2}-ta_{n+1}=s(a_{n+1}-ta_n)
\end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(2)一般項$a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x,\ y$に対して$x^2+y^2+2axy+2bx+1 \geqq 0$が成り立つとする．このとき，実数$a,\ b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$のなす領域を座標平面上に図示せよ．
(2)$(1)$の領域を点$(a,\ b)$が動くとき$a^2+b$の最大値と最小値を求めよ．

負でない整数$N$が与えられたとき，$a_1=N$，$\displaystyle a_{n+1}=\left[ \frac{a_n}{2} \right] (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$として数列$\{a_n\}$を定める．ただし$[a]$は，実数$a$の整数部分（$k \leqq a<k+1$となる整数$k$）を表す．

(1)$a_3=1$となるような$N$をすべて求めよ．
(2)$0 \leqq N<2^{10}$をみたす整数$N$のうちで，$N$から定まる数列$\{a_n\}$のある項が$2$となるようなものはいくつあるか．
(3)$0$から$2^{100}-1$までの$2^{100}$個の整数から等しい確率で$N$を選び，数列$\{a_n\}$を定める．次の条件$(*)$をみたす最小の正の整数$m$を求めよ．
$(*)$ 数列$\{a_n\}$のある項が$m$となる確率が$\displaystyle \frac{1}{100}$以下となる．