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国立 鳥取大学 2015年 第4問連続関数$f(x)$は次の条件を満たす．
\[ f(x)=1+\int_0^x (x-t)f(t) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\phi(x)=f(x)+f^\prime(x)$とおくとき，$\displaystyle \frac{\phi^\prime(x)}{\phi(x)}$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
\[ f(x)=1+\int_0^x (x-t)f(t) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\phi(x)=f(x)+f^\prime(x)$とおくとき，$\displaystyle \frac{\phi^\prime(x)}{\phi(x)}$を求めよ．
(2)$f(x)$を求めよ．
国立 新潟大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を次の条件$(ⅰ)$および$(ⅱ)$をみたすように定める．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．
(i) $a_1=0$，$a_2=3$
(ii) $3$以上の自然数$n$に対して，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどの項の値とも等しくないときは$a_n=a_{n-1}-1$であり，第$(n-1)$項$a_{n-1}$の値が初項$a_1$から第$(n-2)$項$a_{n-2}$までのどれかの項の値と等しいときは$a_n=a_{n-1}+6$である．
次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の第$3$項から第$10$項までの各項の値を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第$2015$項の値を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$201$項までの和を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第2問図$1$のように，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=5$，$\mathrm{BC}=6$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内に，半径が等しい$2$つの円$\mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_2$が次の$2$つの条件を満たすように置かれているとする．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
\begin{itemize}
円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$は外接する．
円$\mathrm{O}_1$は辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{BC}$に接し，円$\mathrm{O}_2$は辺$\mathrm{AC}$と辺$\mathrm{BC}$に接する．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）
(1)辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$としたとき，線分$\mathrm{AM}$の長さを求めよ．
(2)円$\mathrm{O}_1$の半径$R$を求めよ．
(3)さらに円$\mathrm{O}_3$が図$2$のように円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$に外接し，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$に接しているとき，円$\mathrm{O}_3$の半径$r$を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2015年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2)$a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても，
\[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \]
となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．
(1)$a^5-12a^4+36a^3-81a+1,\ a^2-6a$が共に有理数となるような無理数$a$を求めよ．
(2)$a_1=1$，$a_2=e$，$a_{n+2}=a_n^{-2}a_{n+1}^3 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$という条件で決まる数列$\{a_n\}$の第$n$項を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(3)$f(4)=k_1$，$f^\prime(4)=k_2$を満たすどんな関数$f(x)$についても，
\[ \lim_{x \to 0} \frac{4f((x+2)^2)-(x+2)^2f(4)}{x}=\alpha k_1+\beta k_2 \]
となる．このとき，定数$\alpha,\ \beta$はそれぞれいくらか．
国立 防衛医科大学校 2015年 第3問座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{2})$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{6},\ \sqrt{2})$，$\mathrm{C}(\sqrt{6},\ 3 \sqrt{2})$に対して，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は線分$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$の垂直二等分線が点$\mathrm{C}$で交わるという条件を満たす点とする．ただし，$q>\sqrt{2}$である．また，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BP}$へ下ろした垂線と点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{AP}$へ下ろした垂線が点$\mathrm{T}(s,\ t)$で交わっているとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．
(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示せよ．
(2)点$\mathrm{T}$の軌跡を求め，図示せよ．
国立 高知大学 2015年 第2問次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
（イ） $a_1=\sqrt{2}+1$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
-\sqrt{2}a_n-1 & (a_n<10 \text{のとき}) \\
(\sqrt{2}-1)a_n+6 & (a_n>10 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$n \geqq 5$のとき，$a_n>10$であることを示せ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．
（イ） $a_1=\sqrt{2}+1$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
-\sqrt{2}a_n-1 & (a_n<10 \text{のとき}) \\
(\sqrt{2}-1)a_n+6 & (a_n>10 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$を求めよ．
(2)$n \geqq 5$のとき，$a_n>10$であることを示せ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$a_n$を$n$の式で表せ．
国立 高知大学 2015年 第3問$c$を実数として，次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
（イ） $a_1=0$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+c & (a_n<5 \text{のとき}) \\
a_n-5 & (5 \leqq a_n<10 \text{のとき}) \\
2a_n-c+1 & (a_n \geqq 10 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$c=5$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(2)$c=10$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(3)$c<5$のとき，$a_n<10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(4)$\displaystyle c=\frac{16}{3}$のとき，$a_n>1000$をみたす最小の$n$を求めよ．
（イ） $a_1=0$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+c & (a_n<5 \text{のとき}) \\
a_n-5 & (5 \leqq a_n<10 \text{のとき}) \\
2a_n-c+1 & (a_n \geqq 10 \text{のとき})
\end{array} \right. \]
次の問いに答えよ．
(1)$c=5$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(2)$c=10$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(3)$c<5$のとき，$a_n<10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(4)$\displaystyle c=\frac{16}{3}$のとき，$a_n>1000$をみたす最小の$n$を求めよ．