「条件」について
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国立 京都大学 2016年 第4問四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
国立 京都大学 2016年 第5問実数を係数とする$3$次式$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$に対し，次の条件を考える．
\mon[（イ）] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し，$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である．
\mon[（ロ）] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ．
\mon[（イ）] 方程式$f(x)=0$の解であるすべての複素数$\alpha$に対し，$\alpha^3$もまた$f(x)=0$の解である．
\mon[（ロ）] 方程式$f(x)=0$は虚数解を少なくとも$1$つもつ．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$3$次式をすべて求めよ．
国立 京都大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$が次の条件を満たすならば，それは正四面体であることを示せ．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
条件：頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の外心を通る．
ただし，四面体のある頂点の対面とは，その頂点を除く他の$3$つの頂点がなす三角形のことをいう．
国立 京都大学 2016年 第6問複素数を係数とする$2$次式$f(x)=x^2+ax+b$に対し，次の条件を考える．
\mon[（イ）] $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる．
\mon[（ロ）] $f(x)$の係数$a,\ b$の少なくとも一方は虚数である．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$2$次式をすべて求めよ．
\mon[（イ）] $f(x^3)$は$f(x)$で割り切れる．
\mon[（ロ）] $f(x)$の係数$a,\ b$の少なくとも一方は虚数である．
この$2$つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす$2$次式をすべて求めよ．
国立 東京大学 2016年 第1問座標平面上の$3$点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(-x,\ -y)$，$\mathrm{R}(1,\ 0)$が鋭角三角形をなすための$(x,\ y)$についての条件を求めよ．また，その条件をみたす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の範囲を図示せよ．
国立 大阪大学 2016年 第3問$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．
（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．
（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
以下の問いに答えよ．
(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第2問$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．
国立 九州大学 2016年 第4問自然数$n$に対して，${10}^n$を$13$で割った余りを$a_n$とおく．$a_n$は$0$から$12$までの整数である．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
(1)$a_{n+1}$は$10a_n$を$13$で割った余りに等しいことを示せ．
(2)$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_6$を求めよ．
(3)以下の$3$条件を満たす自然数$N$をすべて求めよ．
(i) $N$を十進法で表示したとき$6$桁となる．
(ii) $N$を十進法で表示して，最初と最後の桁の数字を取り除くと$2016$となる．
(iii) $N$は$13$で割り切れる．
国立 北海道大学 2016年 第1問$a,\ b,\ c$を実数とし，
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく．曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある．
(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ．
\[ f(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
とおく．曲線$C:y=f(x)$上に異なる$2$点$\mathrm{P}(s,\ f(s))$，$\mathrm{Q}(t,\ f(t))$がある．
(1)$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線が平行になるための条件を$s,\ t,\ a$の関係式として求めよ．
(3)$(2)$の条件のもとで，線分$\mathrm{PQ}$の中点が$C$上にあることを示せ．
国立 名古屋大学 2016年 第1問曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-1$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．