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東京薬科大学 私立 東京薬科大学 2016年 第1問
次の問に答えよ.ただし,$*$については$+,\ -$の$1$つが入る.

(1)$x^2+5x+1=0$のとき,$\displaystyle x+\frac{1}{x}=[$*$ア]$であり,$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}=[イウ]$である.

(2)$\displaystyle \frac{3}{2}\pi<\theta<2 \pi$かつ$\displaystyle \tan \theta=-\frac{12}{5}$のとき,$\displaystyle \cos \theta=\frac{[$*$エ]}{[オカ]}$,$\displaystyle \sin \theta=\frac{[$*$キク]}{[オカ]}$である.

(3)点$(4,\ 2)$を通り,傾きが$m$の直線$\ell$が,円$C:x^2+y^2=4$に接するとき,$\displaystyle m=[ケ]$,$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である.

(4)容器$\mathrm{A}$には質量パーセント濃度$3 \, \%$の食塩水が$200 \, \mathrm{g}$,容器$\mathrm{B}$には質量パーセント濃度$10 \, \%$の食塩水が$300 \, \mathrm{g}$入っている.今,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから同量ずつ食塩水を取り出し,$\mathrm{A}$から取り出したものを$\mathrm{B}$へ,$\mathrm{B}$から取り出したものを$\mathrm{A}$へ入れたところ,$2$つの容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$内の食塩水の質量パーセント濃度が等しくなった.このとき,容器$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$それぞれから取り出した食塩水の量は$[シスセ] \, \mathrm{g}$である.ただし,質量パーセント濃度とは溶液(本問の場合,食塩水)の質量に対する溶質(本問の場合,食塩)の質量の割合を百分率($\%$)で表したものである.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2016年 第2問
数直線上に$2$点$\mathrm{Q}(-1)$と$\displaystyle \mathrm{P}_1 \left( \frac{1}{2} \right)$をとり,線分$\mathrm{QP}_1$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_2$,線分$\mathrm{QP}_2$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_3$とする.以下同様に$n=1,\ 2,\ \cdots$に対し線分$\mathrm{QP}_n$を$3:1$に外分する点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする.また$\mathrm{P}_n$の座標を$a_n$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)$\mathrm{A}$を数直線上の$\mathrm{Q}$と異なる点とする.線分$\mathrm{QA}$を$3:1$に外分する点が$\mathrm{P}_1$であるとき,$\mathrm{A}$の座標$a$を求めなさい.
(2)すべての自然数$n$に対して
\[ a_n=\left( \frac{3}{2} \right)^n-1 \]
が成り立つことを$n$に関する数学的帰納法で証明しなさい.
(3)$999<a_n<9999$をみたす自然数$n$をすべて求めなさい.ただし,本問では$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$とする.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2014年 第2問
$2$次正方行列$M=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$についての条件
\[ (*) a=d \text{かつ} b=-c \]
を考える.$(*)$を満たす$M$に対して,実数$f(M)$を$f(M)=\sqrt{a^2+b^2}$と定める.以下の問いに答えなさい.

(1)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば,積$AB$も$(*)$を満たすことを証明しなさい.
(2)$2$次正方行列$A,\ B$がともに$(*)$を満たすならば,$f(AB)=f(A)f(B)$が成り立つことを証明しなさい.
(3)$A=16 \left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$に対して$f(A^n)$が十進法で$10$けた以上となる自然数$n$のうち最小のものを求めなさい.ただし,本問においては$\log_{10}2=0.301$とする.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2011年 第7問
座標平面上の点$(x,y)$の両座標とも整数のとき,その点を格子点という.本問では,「領域内」とはその領域の内部および境界線を含むものとする.

(1)不等式$|x|+2 |y| \leqq 4$の表す領域を$D$とする.領域$D$内に格子点は$[ノ]$個ある.
(2)$n$を自然数として,不等式$|x|+2 |y| \leqq 2n$の表す領域を$F$とする.領域$F$内の格子点の総数は
$\left( [ハ]n^2+[ヒ]n+[フ] \right)$個である.
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「本問」とは・・・

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