$x,\ y,\ z$は実数で，$x+y+z=1$，$x^2+y^2+z^2=3$を満たしている．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$xy+yz+zx$の値を求めよ．
(2)$xyz=r$とおく．$x,\ y,\ z$が解となる$t$を未知数とする$3$次方程式を求めよ．
(3)$r$がとり得る値の範囲を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき，次の等式が成り立つことを示せ．
\[ (ⅰ) \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad (ⅱ) \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad (ⅲ) \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2)$a,\ b$を実数とする．$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が，$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする．

(i) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ．
(ii) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ．

(3)次の定積分を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]

$x$を未知数とする$3$次方程式
\[ x^3+(2t-2)x^2+(t^3-3t +2)x+1 = 0 \]
の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とする．$t > 0$ならば，$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 \leqq 0$であることを示しなさい．

$a,\ b,\ p,\ q$を実数として，未知数$x$の方程式
\[ p(x^2+ax+b) +x-q=0 \cdots (*) \]
を考える．

(1)$p$がどのような値であっても方程式$(*)$がつねに実数解をもつためには，$a^2-4b \geqq 0$が必要条件であることを示せ．
(2)$a^2-4b \geqq 0$とし，$\alpha,\ \beta \ (\alpha \leqq \beta)$を方程式$x^2+ax+b=0$の$2$つの実数解とする．このとき，$p$がどのような値であっても方程式$(*)$がつねに実数解をもつのは$q$がどのような範囲$R$にあるときか答えよ．
(3)$a^2-4b \geqq 0$で$q$が$(2)$で求めた範囲$R$にあるとき，方程式$(*)$は範囲$R$に少なくとも$1$つの解をもつことを示せ．