$n$は自然数，$p_0$，$p_1$，$\cdots$，$p_n$は$p_0>0$，$\cdots$，$p_n>0$かつ$p_0+p_1+\cdots+p_n=1$を満たす定数とする．ポイント$0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n-1,\ n$が，それぞれ$p_0,\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_{n-1},\ p_n$の確率で得られる試行$T$を考える．試行$T$を$1$回行って得られるポイントの期待値を$a$とし，$A=[a]+1$とする．ただし，実数$x$に対して$[x]$は$x$を超えない最大の整数を表す．競技者は，試行$T$を下記の各設問のルールに従って何回か行う．

(1)$k$を$1 \leqq k \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$2$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$k$以上であれば$2$回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$k$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$b_k$とする．$b_k$を求めよ．

(2)$(1)$の期待値$b_k$は$k$が$A$のとき最大となることを示せ．
(3)$m$を$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．競技者は，試行$T$を以下のルールに従って最大$3$回まで行う．

\mon[$①$] 試行$T$を$1$回行い，もしポイントが$m$以上であれば$2$回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金とする．
\mon[$②$] $1$回目のポイントが$m$未満であれば$2$回目の試行$T$を行う．$2$回目のポイントが$A$以上であれば$3$回目の試行を行わない．このとき，$1$回目のポイントは無効とし，$2$回目のポイントを賞金とする．
\mon[$③$] $2$回目のポイントが$A$未満であれば$3$回目の試行$T$を行う．このとき，$1$回目，$2$回目のポイントは無効とし，$3$回目のポイントを賞金とする．
このとき賞金の期待値を$c_m$とする．$c_m$を求めよ．

(4)$(3)$の期待値$c_m$は$m$が$B=[b_A]+1$のとき最大となり，$c_B \geqq b_A$であることを示せ．ただし，$b_A$は$(1)$で求めた期待値$b_k$の$k=A$のときの値である．
(5)$n=5$とし，試行$T$として，$5$枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える．また，$b_k$，$c_m$は上記で定義したものとする．

(i) $p_0$，$p_1$，$p_2$，$p_3$，$p_4$，$p_5$，$a$を求めよ．
(ii) $(1)$のように最大$2$回試行を行う場合，$b_k$の最大値を求めよ．
(iii) $(3)$のように最大$3$回試行を行う場合，$c_m$の最大値を求めよ．

$4$つの角がすべて$\pi$未満である平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{CD}=10$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は互いに直交し，$\mathrm{AC}=12$，$\mathrm{BD}=9$とする．$\angle \mathrm{BAC}=x$，$\angle \mathrm{BDC}=y$，$\angle \mathrm{CBD}=\alpha$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\sin x$および$\sin y$の値を求めよ．
(2)$\sin \alpha$および$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．

スイッチを入れたとき点灯しない確率が$p$である電灯がある．この電灯が，部屋$A$には$2$つ，部屋$B$には$3$つ，部屋$C$には$4$つ設置されていて，どの部屋も，半分以上の電灯が点灯すれば使用でき，半分未満では使用できない．部屋$A,\ B,\ C$が使用できない確率を，それぞれ$p_A,\ p_B,\ p_C$とする．

(1)$p_B$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_A>p_C$となる$p$の範囲を求めよ．

右図のような四角形$\mathrm{ABCD}$について，すべての内角の大きさは$180^\circ$ \\
未満とする．$\triangle \mathrm{BCD}$の重心を$\mathrm{P}$，$\triangle \mathrm{CDA}$の重心を$\mathrm{Q}$，$\triangle \mathrm{DAB}$の重 \\
心を$\mathrm{R}$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{S}$とする．ただし，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$ \\
上になく，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{BD}$上にないものとする．このとき， \\
次の各問に答えよ．
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(1)$\mathrm{AC} \para \mathrm{RP}$を示せ．
(2)$\mathrm{AB} \para \mathrm{QP}$を示せ．
(3)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$4$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は同一円周上にあることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)命題「メタンならば炭化水素である」の逆は$[　]$であり，対偶は$[　]$である．
(2)薬の瓶が$n$個と薬の錠剤が幾つかあった．$1$瓶に$60$錠ずつ入れると，最後の瓶は$48$錠入る予定であった．ところが錠剤を$50$錠消費した．残った錠剤を$1$瓶に$55$錠ずつ入れると瓶は不足し，$1$瓶に$56$錠ずつ入れると最後の瓶には錠剤が$1$錠以上$56$錠未満入った．瓶の個数$n$は$[　]$以上$[　]$以下である．

ひとつのさいころを$3$回続けて投げて，出た目を順に$X,\ Y,\ Z$とする．また，$\displaystyle A=\frac{Y}{X}$，$\displaystyle B=\frac{X}{Y}$，$\displaystyle C=\frac{Y}{Z}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$A$のとりうる値のなかで，その値をとる確率が最も大きくなるような$A$の値を求めよ．
(2)$A$の期待値を求めよ．
(3)$A$と$B$の値がいずれも$2$以下である確率を求めよ．
(4)$B$と$C$の値がいずれも$1$未満である確率を求めよ．

ある工場では，昼間にタンクの水を使用し，夜間に水を補給する．毎日，朝の水量のうち10$\%$が使用され，その日の夜に200リットルが補給される．操業1日目の朝の始業前には，タンクの水量が8000リットルであった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)3日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ．
(2)$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)朝の始業前のタンクの水量がはじめて2400リットル未満になるのは，何日目の朝か．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

ある工場では，昼間にタンクの水を使用し，夜間に水を補給する．毎日，朝の水量のうち10$\%$が使用され，その日の夜に200リットルが補給される．操業1日目の朝の始業前には，タンクの水量が8000リットルであった．このとき，次の問いに答えよ．

(1)3日目の朝の始業前のタンクの水量を求めよ．
(2)$n$日目の朝の始業前のタンクの水量を$a_n$リットルとするとき，$a_{n+1}$を$a_n$で表せ．
(3)朝の始業前のタンクの水量がはじめて2400リットル未満になるのは，何日目の朝か．ただし，$\log_{10}2 = 0.3010,\ \log_{10}3 = 0.4771$とする．

日本全国から$6$つの市を選ぶ．その$6$つの市に関する条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$を考える．

\mon[$(\mathrm{A})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{B})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市がただ$1$つ存在する．
\mon[$(\mathrm{C})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市が$2$つ以上存在する．
\mon[$(\mathrm{D})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人以上である．
\mon[$(\mathrm{E})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人未満の市が存在する．
\mon[$(\mathrm{F})$] $6$つの市の人口はすべて$10$万人未満である．
\mon[$(\mathrm{G})$] $6$つの市の中に，人口$10$万人以上の市と人口$10$万人未満の市が存在する．


(1)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，互いに否定条件となるすべての組を以下の選択肢から選べ．もし互いに否定条件となる組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．

選択肢：
1. (A)と(E) \qquad 2. (A)と(F) \qquad 3. (B)と(C)
4. (B)と(E) \qquad 5. (B)と(F) \qquad 6. (B)と(G)
7. (D)と(E) \qquad 8. (D)と(F) \qquad 9. (D)と(G)
10. (E)と(F) \qquad 11. (E)と(G) \qquad 12. (F)と(G)

(2)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{A})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{A})$以外の条件をすべて選べ．
(3)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{E})$であるための十分条件となる，$(\mathrm{E})$以外の条件をすべて選べ．
(4)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{B})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{B})$以外の条件をすべて選べ．
(5)条件$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中から，$(\mathrm{D})$であるための必要条件となる，$(\mathrm{D})$以外の条件をすべて選べ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角が$0^\circ$より大きく$90^\circ$未満のとき，以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_1$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}_1$を$\overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)さらに$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}_2$とする．$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ 2,\ 1)$であるとき，線分$\mathrm{H}_1 \mathrm{H}_2$の長さを求めよ．