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国立 鹿児島大学 2016年 第6問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 鹿児島大学 2016年 第5問次の各問いに答えよ．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
(1)$1$個のさいころを$10$回投げるとき，$1$または$2$の目が出る回数$X$の期待値$E(X)$と標準偏差$\sigma(X)$を求めよ．
(2)確率変数$X$の確率密度関数が$\displaystyle f(x)=\frac{2}{25}x (0 \leqq x \leqq 5)$で与えられているとき，$X$の期待値$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ．
(3)$2$つの事象$A,\ B$について，$A$と$B$が独立なら$\overline{A}$と$B$も独立であることを示せ．ただし$\overline{A}$は$A$の余事象を表す．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第4問サイコロを何回か振って最後に出た目を得点とするゲームを行う．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
(1)サイコロを$1$回だけ振ることができるときの得点の期待値$E_1$を求めよ．
(2)サイコロを$2$回まで振ることができるとき，$1$回目に$m$以上の目が出たらそこでやめ，$m$より小さい目が出たら$2$回目を振ることにする．このときの得点の期待値$E_2(m)$を$m$を用いて表し，$E_2(m)$が最大となる$m$を求めよ．
(3)$n$を$2$以上の自然数，$m_1,\ \cdots,\ m_{n-1}$を$6$以下の自然数とする．$n$回までサイコロを振ることができるとき，$i$回目に$m_{n-i}$以上の目が出たらそこでやめ，$m_{n-i}$より小さい目が出たら$i+1$回目を振るという規則でサイコロを振り続ける．ただし，$n$回サイコロを振ったらそこでやめる．このときの得点の期待値を$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$とする．以下の問いに答えよ．
(i) $E_3(m_1,\ m_2)$を$E_2(m_1)$，$m_2$を用いて表し，$E_3(m_1,\ m_2)$が最大となる$m_1,\ m_2$とそのときの$E_3(m_1,\ m_2)$の値を求めよ．
(ii) $n \geqq 4$とする．$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$の最大値を$e_{n-1}$とすると，$E_n(m_1,\ \cdots,\ m_{n-1})$が最大となるのは，$E_{n-1}(m_1,\ \cdots,\ m_{n-2})$が$e_{n-1}$となり，かつ$m_{n-1}$が$e_{n-1}$以上の最小の自然数となるときである．このことを示せ．
ただし，得点が$k$となる確率を$p(k)$としたとき，
\[ p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)+5p(5)+6p(6) \]
を得点の期待値とよぶ．
公立 北九州市立大学 2016年 第1問以下の問いの空欄$[ア]$～$[コ]$に入れるのに適する数値，式を答えよ．
(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
(1)方程式$|x+2|-|x-1|=3x-4$を満たす$x$の値は$[ア]$である．
(2)$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフが$3$点$\mathrm{A}(5,\ 2)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2)$を通るとき，$a=[イ]$，$b=[ウ]$，$c=[エ]$である．この関数$y$のグラフを$x$軸方向に$-3$だけ平行移動したグラフを表す$2$次関数は$y=[オ]$である．
(3)あるクラスの男子学生の身長が，それぞれ$184 \, \mathrm{cm}$，$160 \, \mathrm{cm}$，$165 \, \mathrm{cm}$，$172 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$175 \, \mathrm{cm}$，$170 \, \mathrm{cm}$，$180 \, \mathrm{cm}$であるとき，中央値は$[カ] \, \mathrm{cm}$で，分散は$[キ]$である．
(4)$1$から$8$までの数字がひとつずつ書かれた$8$枚のカードの中から同時に$2$枚を選ぶとき，その和が$9$の場合は$100$点，その積が$40$以上の場合は$-25$点，その他の場合は$20$点与えられるものとする．得点の期待値は$[ク]$点である．
(5)不定方程式$17x-13y=1$の整数解を整数$m$を用いて表すと$x=[ケ]$，$y=[コ]$である．
私立 早稲田大学 2015年 第6問$2$つの箱$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$に，自然数が$1$つ記されたカードが何枚かずつ入っている．箱$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からカードを$1$枚ずつ，合計$2$枚のカードを取り出す試行を行う．自然数$n$に対し，取り出された$2$枚のカードに記された自然数の和が$n$である確率を$P_n$とする．
(1)箱$\mathrm{A}$に数字$2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1,\ 2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$\displaystyle P_4=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて，
\[ P_2=\frac{1}{15},\quad P_3=\frac{1}{5},\quad P_4=\frac{1}{3},\quad P_5=\frac{2}{5} \]
が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$[フ]$という数字が記されたカードであり，その枚数は$[ヘ]$枚である．
(1)箱$\mathrm{A}$に数字$2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ，箱$\mathrm{B}$に数字$1,\ 2,\ 3$が記されたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入っているとき，$\displaystyle P_4=\frac{[ネ]}{[ノ]}$である．また，取り出された$2$枚のカードに記された$2$つの自然数の和の期待値は$\displaystyle \frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)箱$\mathrm{A}$にカードが$3$枚，箱$\mathrm{B}$にカードが$5$枚入っていて，
\[ P_2=\frac{1}{15},\quad P_3=\frac{1}{5},\quad P_4=\frac{1}{3},\quad P_5=\frac{2}{5} \]
が成立している．このとき，箱$\mathrm{B}$に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは$[フ]$という数字が記されたカードであり，その枚数は$[ヘ]$枚である．
私立 早稲田大学 2015年 第4問棚に包装された製品が$n$個（$n \geqq 4$）並んでいるが，そのうち$2$個が不良品だということがわかっている．$n$個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別することはできない．今，どの$2$個が不良品かを見つけるために，$n$個の製品のうち$1$個を取り出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包装し直した上でもとにあった場所に戻す．$1$個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品も同様にチェックし，この作業を$2$個の不良品が見つかるまで繰り返し，$2$個目の不良品を交換した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品$1$個につき$1000$円，製品を包装し直す費用は製品$1$個につき$100$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
(1)$n=4$のとき，この作業全体の費用が$2200$円になる確率は$[セ]$である．
(2)$n=4$のとき，この作業全体の費用の期待値は$\displaystyle \left( 2000+[ソ] \right)$円である．
(3)この作業全体の費用の期待値を$n$の関数で表すと$\displaystyle \left( 2000+[タ] \right)$円である．
私立 東京理科大学 2015年 第3問座標平面上に$\mathrm{A}(3,\ 2)$，$\mathrm{B}(8,\ 2)$，$\mathrm{C}(6,\ 6)$，$\mathrm{D}(3,\ 6)$を頂点とする四角形$\mathrm{ABCD}$と点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$と四角形$\mathrm{ABCD}$の周上の点（頂点を含む）との距離の最小値を$d$とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 1)$，$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 8)$，$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 4)$のとき，$d$はそれぞれ
\[ \sqrt{[ア]},\quad \sqrt{[イ]},\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$のそれぞれの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計$8$枚ある．これらの$8$枚のカードをよく混ぜてから，カードを$1$枚取り出す．このカードを元に戻さないで，もう$1$枚カードを取り出す．$1$回目に取り出したカードの数字を$x$，$2$回目に取り出したカードの数字を$y$として，座標が$(x,\ y)$である点を$\mathrm{P}$とする．
(i) $d=0$，$d=1$，$d=2$となる確率は，それぞれ
\[ \frac{[カ]}{[キ][ク]},\quad \frac{[ケ]}{[コ][サ]},\quad \frac{[シ]}{[ス][セ]} \]
である．
また，$d$が無理数となる確率は，$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}$である．
(ii) $d$の期待値は，
\[ \frac{[テ]}{[ト][ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \sqrt{[ノ]}+\frac{[ハ][ヒ]}{[フ][ヘ][ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
(1)$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 1)$，$\mathrm{P}$の座標が$(2,\ 8)$，$\mathrm{P}$の座標が$(6,\ 4)$のとき，$d$はそれぞれ
\[ \sqrt{[ア]},\quad \sqrt{[イ]},\quad \frac{[ウ]}{[エ]} \sqrt{[オ]} \]
である．
(2)$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$のそれぞれの数字が書かれたカードが$1$枚ずつ，合計$8$枚ある．これらの$8$枚のカードをよく混ぜてから，カードを$1$枚取り出す．このカードを元に戻さないで，もう$1$枚カードを取り出す．$1$回目に取り出したカードの数字を$x$，$2$回目に取り出したカードの数字を$y$として，座標が$(x,\ y)$である点を$\mathrm{P}$とする．
(i) $d=0$，$d=1$，$d=2$となる確率は，それぞれ
\[ \frac{[カ]}{[キ][ク]},\quad \frac{[ケ]}{[コ][サ]},\quad \frac{[シ]}{[ス][セ]} \]
である．
また，$d$が無理数となる確率は，$\displaystyle \frac{[ソ][タ]}{[チ][ツ]}$である．
(ii) $d$の期待値は，
\[ \frac{[テ]}{[ト][ナ]}+\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \sqrt{[ノ]}+\frac{[ハ][ヒ]}{[フ][ヘ][ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．
公立 大阪府立大学 2015年 第1問$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
公立 大阪府立大学 2015年 第1問$n$を自然数とする．数字$1$が書かれたカードが$n$枚，数字$4$が書かれたカードが$1$枚，$\triangle$が書かれたカードが$1$枚，合計$n+2$枚のカードがある．これら$n+2$枚のカードから$2$枚のカードを同時に引き，カードに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に$\triangle$が書かれたカードが含まれる場合には，得点は$0$点とする．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．
(1)得点が$0$点となる確率，得点が$2$点となる確率，得点が$5$点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2)得点の期待値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた期待値を$a_n$とおくとき，$a_{n+1}-a_n$の符号を調べることにより，$a_n$が最大になる$n$をすべて求めよ．