「有理数」について
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国立 群馬大学 2014年 第4問$n$を自然数とする．$5832$を底とする$n$の対数$\log_{5832}n$が有理数であり$\displaystyle \frac{1}{2}<\log_{5832}n<1$を満たすとき，$n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
私立 慶應義塾大学 2014年 第5問次の設問に答えなさい．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．
私立 早稲田大学 2014年 第2問$\displaystyle \sin \theta=\frac{4}{5}$を満たす$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対し，$a_n=5^n \sin n\theta$とおく（$n=1,\ 2,\ \cdots$）．次の問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．
(1)数列$\{a_n\}$は，ある整数$A,\ B$を用いて
\[ a_{n+2}=Aa_{n+1}+Ba_n \]
と表される．このとき，$A,\ B$の値を求めよ．
(2)$a_n$は$5$で割ると$4$余る整数であることを証明せよ．
(3)$\theta$は円周率$\pi$の有理数倍ではないことを証明せよ．
私立 立教大学 2014年 第1問次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．
(1)$1$でない実数$a$に対し，$f(x)=x^3+ax^2+x+1$，$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする．方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば，$a=[ア]$であり，$f(x)=0$のすべての解は$[イ]$である．
(2)$x>0$のとき，$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき，$z^{2014}=[オ]+[カ]i$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき，$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが，そのうち$\log_a b$が整数となるのは$[キ]$通りであり，整数でない有理数となるのは$[ク]$通りである．
(5)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす．このとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば，$p=[ケ]$，$q=[コ]$である．ただし，$p,\ q$は実数とする．
(1)$1$でない実数$a$に対し，$f(x)=x^3+ax^2+x+1$，$g(x)=x^3+x^2+x+a$とする．方程式$f(x)=0$と$g(x)=0$がただ$1$つの共通解をもつならば，$a=[ア]$であり，$f(x)=0$のすべての解は$[イ]$である．
(2)$x>0$のとき，$f(x)=e^{-\sqrt{3}x} \sin x$の最大値は$[ウ]$であり，最小値は$[エ]$である．
(3)$\displaystyle z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とするとき，$z^{2014}=[オ]+[カ]i$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$a,\ b$を$2$から$9$までの自然数とするとき，$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$64$通りあるが，そのうち$\log_a b$が整数となるのは$[キ]$通りであり，整数でない有理数となるのは$[ク]$通りである．
(5)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$は，$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=1$かつ$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{1}{3}$を満たす．このとき，ベクトル$\overrightarrow{c}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}$が$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\frac{5}{3}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-3$を満たすならば，$p=[ケ]$，$q=[コ]$である．ただし，$p,\ q$は実数とする．
国立 広島大学 2013年 第4問座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，$2$点$\mathrm{P}(0,\ 1)$，$\mathrm{Q}(s,\ 0)$を考える．$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線を$\ell$とし，$\ell$と$C$の交点のうち$\mathrm{P}$ではないものを$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．
(2)$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．$s$が有理数のとき，$\mathrm{R}$は有理点であることを示せ．
(1)点$\mathrm{R}$の座標を$s$を用いて表せ．
(2)$x$座標と$y$座標がともに有理数である点を有理点という．$s$が有理数のとき，$\mathrm{R}$は有理点であることを示せ．
国立 信州大学 2013年 第3問次の問いに答えよ．
(1)式
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものをすべて求めよ．
(2)$r$を正の有理数とする．式
\[ r=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は$0$個とし，有限個であるとみなす．
(1)式
\[ 1=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものをすべて求めよ．
(2)$r$を正の有理数とする．式
\[ r=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3} \]
をみたす自然数の組$(a_1,\ a_2,\ a_3)$で，$1 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$となるものは有限個しかないことを証明せよ．ただし，そのような組が存在しない場合は$0$個とし，有限個であるとみなす．
国立 高知大学 2013年 第3問円$x^2+y^2+4x+2 \sqrt{2}y+3=0$について，次の問いに答えよ．
(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．
(1)この円の中心と半径をそれぞれ求めよ．
(2)この円上の点$(x,\ y)$において，$x+y$のとる値の最大値と最小値を求めよ．
(3)この円上の点で座標がともに有理数となる点をすべて求めよ．