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私立 広島国際学院大学 2016年 第1問以下の問いに答えなさい．
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 2xy-y^2+2x-y \]
(2)次の式の分母を有理化しなさい．
\[ \frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} \]
(1)次の式を因数分解しなさい．
\[ 2xy-y^2+2x-y \]
(2)次の式の分母を有理化しなさい．
\[ \frac{12}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}} \]
私立 広島女学院大学 2016年 第1問$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$の分母を有理化せよ．$[$1$]$
私立 日本医科大学 2016年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
(1)円に内接する四角形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AB}=1+\sqrt{3}$，$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}=2$，また$\angle \mathrm{DAB}={60}^\circ$である．四角形$\mathrm{ABCD}$の対角線の交点を$\mathrm{P}$，$\angle \mathrm{BCD}$の二等分線と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CQ}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，以下の各問いに答えよ．なお数値の分母は有理化すること．
(i) 辺$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(ii) $\angle \mathrm{ABD}$の大きさを求めよ．
(iii) 辺$\mathrm{BP}$の長さを求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 三角形$\mathrm{PQR}$の内接円の半径を求めよ．
(2)自然数$n$に対して，$n$を$3$で割った余りを$a_n$，$n^2$を$3$で割った余りを$b_n$とするとき，以下の各問いに答えよ．
(i) $\displaystyle \sum_{n=1}^{2016} (a_n+b_n)$の値を求めよ．
(ii) $\displaystyle \sum_{n=1}^m (a_{n+2}+b_{n+1}+2a_n)=2016$を満たす自然数$m$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に，次のような双曲線$C$と直線$\ell_k$（$k$は実数の定数）が与えられているとき，以下の各問いに答えよ．
\[ C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=-1 \qquad \ell_k:3x-4y+k=0 \]
(i) $C$と$\ell_k$が接するような$k$の値を求めよ．
(ii) $C$上の点と直線$\ell_0:3x-4y=0$の距離の最小値を求めよ．
私立 広島経済大学 2016年 第1問次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる．
(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると，
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる．
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である．
(4)次の問いに答えよ．
(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である．
(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{6}+\sqrt{7}}$の分母を有理化すると，$\displaystyle \frac{[$1$]+\sqrt{[$2$]}-\sqrt{[$3$]}}{[$4$]}$となる．
(2)$4x^2+11xy+6y^2+18x+11y-10$を因数分解すると，
\[ (x+[$5$]y+[$6$])([$7$]x+[$8$]y-[$9$]) \]
となる．
(3)$2700$の正の約数の個数は$[$10$]$個である．
(4)次の問いに答えよ．
(i) $101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[$11$]$である．
(ii) $0.2101_{(3)}$を$10$進法で表すと$\displaystyle \frac{[$12$]}{[$13$]}$である．
私立 倉敷芸術科学大学 2015年 第1問$\displaystyle \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}+1}$の分母を有理化せよ．
私立 中央大学 2015年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ．ただし，分母は有理化して答えよ．
(2)初項から第$3$項までの和が$-63$，初項から第$6$項までの和が$-4095$である等比数列の初項と公比を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$回ずつ使って$5$桁の数を作る．このとき，$31402$は小さい方から数えて何番目の数か．
(4)次の方程式を解け．
\[ 2 \log_2 x=\log_2 (x+4)+1 \]
(5)直線$y=3x+a$は曲線$y=x^3$に点$\mathrm{A}$で接する．ただし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線と曲線の接点以外の共有点を$\mathrm{B}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(6)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 |x-1| \, dx$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$のとき，$\displaystyle x^2+\frac{1}{x^2}$の値を求めよ．ただし，分母は有理化して答えよ．
(2)初項から第$3$項までの和が$-63$，初項から第$6$項までの和が$-4095$である等比数列の初項と公比を求めよ．
(3)$5$個の数字$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4$を$1$回ずつ使って$5$桁の数を作る．このとき，$31402$は小さい方から数えて何番目の数か．
(4)次の方程式を解け．
\[ 2 \log_2 x=\log_2 (x+4)+1 \]
(5)直線$y=3x+a$は曲線$y=x^3$に点$\mathrm{A}$で接する．ただし，$a>0$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，直線と曲線の接点以外の共有点を$\mathrm{B}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．
(6)定積分$\displaystyle \int_{-1}^2 |x-1| \, dx$の値を求めよ．
私立 愛知学院大学 2014年 第1問実数$p,\ q$が$p+q=\sqrt{6}$，$p-q=\sqrt{5}$を満たすとき，
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
\[ p^2+q^2=[ア],\quad pq=[イ] \]
である．また$p$の整数部分を$a$，小数部分を$b$とすると，
\[ a=[ウ],\quad \frac{1}{b+\displaystyle\frac{5}{2}}=[エ] \]
である．分母は必ず有理化すること．
私立 獨協大学 2014年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
私立 広島修道大学 2014年 第1問空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．
(1)$1$次不等式$\displaystyle \frac{7+4x}{3} \geqq \frac{x+1}{2}-x$の解は$[$1$]$である．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$の分母を有理化すると$[$2$]$となる．
(3)$A,\ B,\ C$を定数とする．$\displaystyle \frac{x^2+2x+17}{x^3-x^2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)^2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}$が$x$についての恒等式であるとき，$A=[$3$]$，$B=[$4$]$，$C=[$5$]$である．
(4)実数$a$に対して，$a$以下の整数で最大のものを$[a]$で表す．このとき，$[\log_2 7]=[$6$]$，$\displaystyle [\log_3 \frac{1}{25}]=[$7$]$である．
(5)大小$2$個のさいころを同時に投げる．このとき，目の和が$9$以下になる確率は$[$8$]$であり，目の積が$9$以下になる確率は$[$9$]$である．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=5$とし，頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に垂線$\mathrm{AH}$を下ろすとする．このとき，線分$\mathrm{AH}$の長さは$[$10$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$11$]$である．
私立 北海道医療大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=l$，$\angle \mathrm{BAC}={108}^\circ$である．ただし，$l$は正の定数とする．この三角形の辺$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DA}=\mathrm{DB}$となるようにとり，$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{BD}=x$とするとき，以下の問に答えよ．
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$
(1)以下の角度の値を求めよ．
$① \theta$ \qquad $② \angle \mathrm{CAD}$ \qquad $③ \angle \mathrm{CDA}$
(2)点$\mathrm{D}$から辺$\mathrm{AB}$へ下ろした垂線を$\mathrm{DE}$とするとき，三角形$\mathrm{BDE}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$へ下ろした垂線を$\mathrm{AF}$とするとき，三角形$\mathrm{BAF}$に着目して，$\cos \theta$を$x$と$l$を用いて表せ．
(4)$x$を$l$を用いて表せ．
(5)$\cos \theta$の値を求めよ．
(6)三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の半径と内接円の半径をそれぞれ$R,\ r$とするとき，次の$①$と$②$の値を分母を有理化して求めよ．
$\displaystyle ① \frac{R^2}{l^2}$ \qquad $\displaystyle ② \frac{r^2}{l^2}$