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私立 天使大学 2016年 第4問図のような道路のある町を考える．各区画は正方形で，ある交差点から別の交差点への移動は必ず最短距離を進むこととする．また交差点で$2$通りの進み方がある場合，選び方の確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$2$人が，それぞれ$\mathrm{A}$地点，$\mathrm{B}$地点を同時に出発し，それぞれ$\mathrm{B}$地点，$\mathrm{A}$地点へと同じ速さで向かう．次の問いに答えなさい．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順は$\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$通りある．
(2)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る道順は$\mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}$通りある．
また$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}}$である．
(3)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$}}{\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点を含め途中で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$}}{\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順は$\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}$通りある．
(2)$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る道順は$\mkakko{$\mathrm{c}$} \mkakko{$\mathrm{d}$}$通りある．
また$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く道順で，$\mathrm{C}$地点を通る確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{e}$}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}}$である．
(3)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$}}{\mkakko{$\mathrm{h}$} \mkakko{$\mathrm{i}$}}$である．
(4)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$地点を含め途中で出会う確率は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$}}{\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \mkakko{$\mathrm{n}$}}$である．
国立 京都大学 2015年 第3問$6$個の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が下図のように長さ$1$の線分で結ばれているとする．各線分をそれぞれ独立に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で赤または黒で塗る．赤く塗られた線分だけを通って点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{E}$に至る経路がある場合はそのうちで最短のものの長さを$X$とする．そのような経路がない場合は$X$を$0$とする．このとき，$n=0,\ 2,\ 4$について，$X=n$となる確率を求めよ．
（図は省略）
（図は省略）
国立 小樽商科大学 2015年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
(1)整数$m \geqq 2015$に対し，
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{{(2m)}^2-1}=[ア] \]
(2)下図のような道に沿って$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで進むとき，最短経路は何通りあるかを求めると$[イ]$通り．
（図は省略）
(3)中心が$\mathrm{A}(1,\ 0)$にある半径$r (0<r<1)$の円に原点$\mathrm{O}$から$2$本の接線を引く．それぞれの接点と中心$\mathrm{A}$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする四角形の面積の最大値$M$とそのときの$r$の値を求めると$(M,\ r)=[ウ]$．
私立 中京大学 2015年 第6問下の図のような道があり，$\mathrm{A}_0$から$\mathrm{A}_n$（$n$は$4$以下の自然数）まで行く最短経路の総数を$a_n$とするとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イウ]$，$a_4=[エオ]$である．
（図は省略）
（図は省略）
私立 広島経済大学 2015年 第2問次の図はある地域の道を直線で示したものである．下の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順が$n$通りあるとき，$n-100=[$13$]$である．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$を通る道順は$[$14$]$通りある．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$の両方を通る道順は$[$15$]$通りある．
(4)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$または$\mathrm{D}$を通る道順は$[$16$]$通りある．
(5)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{E}$と$\mathrm{D}$の間の道（線分$\mathrm{ED}$）を通らない道順は$[$17$]$通りある．
（図は省略）
(1)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順が$n$通りあるとき，$n-100=[$13$]$である．
(2)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$を通る道順は$[$14$]$通りある．
(3)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$の両方を通る道順は$[$15$]$通りある．
(4)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{C}$または$\mathrm{D}$を通る道順は$[$16$]$通りある．
(5)$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$に行く最短の道順の中で，$\mathrm{E}$と$\mathrm{D}$の間の道（線分$\mathrm{ED}$）を通らない道順は$[$17$]$通りある．
私立 昭和薬科大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．
(1)${2}^{314}$は$[ア][イ]$桁の整数で，最高位の数は$[ウ]$である．ただし，最高位の数とは，例えば$5279$の場合は$5$を指す．また，$\log_{10}2$を$0.3010$，$\log_{10}3$を$0.4771$とする．
(2)図のような格子状の道路網がある．点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[エ][オ][カ]$通りある．また，点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{PQ}$を通らないで点$\mathrm{B}$まで最短経路で行く方法は$[キ][ク]$通りある．
（図は省略）
(3)$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{AC}=6$，$\mathrm{BC}=7$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は$\displaystyle \frac{[ケ] \sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．
(4)公比が負の数である等比数列がある．初項から第$4$項までの和は$\displaystyle \frac{75}{16}$，第$3$項と第$4$項の和は$\displaystyle \frac{27}{16}$である．この等比数列の初項は$[シ][ス]$で，公比は$\displaystyle \frac{[セ][ソ]}{[タ]}$である．
(5)条件$1 \leqq a \leqq 5$，$0 \leqq b<a$，$|c| \leqq b$を満たす整数の組$(a,\ b,\ c)$は全部で$[チ][ツ]$通りある．
(6)連立不等式
\[ |2x^2-8x+6| \leqq \frac{9}{8},\qquad x^3-6x^2+12x-8 \geqq 0 \]
の解は$\displaystyle \frac{[テ]+\sqrt{[ト]}}{[ナ]} \leqq x \leqq \frac{[ニ][ヌ]}{[ネ]}$である．
私立 津田塾大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)$n$を自然数とする．$3^n+5^n=8^n$となるのは$n=1$のときだけであることを示せ．
(2)下の図のような道のある町を考える．$\mathrm{A}$を出発し，$\mathrm{B}$または$\mathrm{C}$を通って，$\mathrm{D}$まで行く場合の最短経路は何通りあるか．
（図は省略）
(1)$n$を自然数とする．$3^n+5^n=8^n$となるのは$n=1$のときだけであることを示せ．
(2)下の図のような道のある町を考える．$\mathrm{A}$を出発し，$\mathrm{B}$または$\mathrm{C}$を通って，$\mathrm{D}$まで行く場合の最短経路は何通りあるか．
（図は省略）
私立 北海学園大学 2013年 第3問下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
私立 安田女子大学 2013年 第4問次の図のように，ある街には東西に$5$本，南北に$7$本の道があり，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点まで行く最短の道順を考える．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を必ず通る道順は何通りあるか．
(2)$\mathrm{P}$を通らずに$\mathrm{Q}$を通る道順は何通りあるか．
(3)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のどちらも通らない道順は何通りあるか．
（図は省略）
(1)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$を必ず通る道順は何通りあるか．
(2)$\mathrm{P}$を通らずに$\mathrm{Q}$を通る道順は何通りあるか．
(3)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$のどちらも通らない道順は何通りあるか．
私立 北海学園大学 2013年 第2問下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）