「最後」について
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私立 西南学院大学 2012年 第2問袋の中に$4$枚のカードが入っており，それぞれのカードには$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が書かれている．いま袋から$1$枚カードを取り出しては，そのつど袋に戻すという試行を何回か繰り返す．このとき，最後に取り出したカードに書かれた数が，得点になるものとする．以下の問に答えよ．
(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．
(1)試行が一度だけのとき，得点の期待値は$\displaystyle \frac{[キ]}{[ク]}$である．
(2)試行を二度行う権利を有するとき（試行を一度でやめても，二度目を行ってもよいとき），得点の期待値を最大にするには，$(1)$の結果より，一度目の数字$x$が$[ケ]$以下のときは二度目を行い，$x$が$[コ]$以上のときは一度でやめればよい．したがって，得点の期待値の最大値は$[サ]$となる．
国立 北海道大学 2011年 第4問$n$を$2$以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．$1$から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，$1$から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，$1$番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，$1$番目の箱には番号$1$から$q$の白玉と番号$1$から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．$1$番の箱から$1$個の玉を取り出して$2$番の箱に移し，次に$2$番の箱から$1$個の玉を取り出して$3$番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に$1$個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．
(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．
(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．
国立 北海道大学 2011年 第4問$n$を2以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．1から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，1番目の箱には番号1から$q$の白玉と番号1から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し，次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に1個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．
(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．
(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．
国立 佐賀大学 2011年 第3問次の問いに答えよ．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．
(1)正方形$\mathrm{ABCD}$が図のように3つの線分$\mathrm{EG}$，$\mathrm{FH}$，$\mathrm{CG}$に \\
よって4つの部分に分割されている．四角形$\mathrm{AEGH}$は面積 \\
が400の正方形になり，三角形$\mathrm{FCG}$は面積が8になる． \\
このとき，正方形$\mathrm{ABCD}$の面積を求めよ．
\img{711_2922_2011_1}{30}
(2)「2116の正の平方根を求めよ」という問題に対して \\
以下のような答案があった．この答案の意図を解説せよ． \\
（答案） \quad まず$40^2<2116<50^2$なので，$2116-40^2=516$を出す．次に516を2で割って258が出る．この258を40で割ると商が6で余りが18になる．さらに余りの18に2をかければ$36=6^2$となり商の2乗が出る． \\
最後に$40^2$と$6^2$とから$40+6=46$が得られる．以上により，求める答えは46になる．
国立 長岡技術科学大学 2011年 第4問$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$種類のカードがある．$\mathrm{A}$を$2$枚，$\mathrm{B}$を$3$枚それぞれ積み重ね，$3$人の人が順番に$1$枚のカードを次のように持ち帰ることにする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$両方のカードが残っているときは$\mathrm{A}$か$\mathrm{B}$かを確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で選んで$1$枚持ち帰る．また，どちらか一方のカードしか残っていないときはそれを$1$枚持ち帰る．このようにすると最後に$2$枚のカードが残る．これについて次の問いに答えなさい．
(1)$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
(1)$\mathrm{A}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(2)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残る確率を求めなさい．
(3)$\mathrm{B}$のカードが$2$枚残ったとき，$1$番目の人が$\mathrm{B}$のカードを持ち帰った条件付き確率を求めなさい．
私立 西南学院大学 2011年 第5問年利率$0.05$，$1$年ごとの複利で借金をする．今年の年度初めに$1000$万円を借りた．$1$年後（今年の年度末）から返済を開始し，毎年，年度末に同じ金額を返済するものとする．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1.05^7=1.407$，$1.05^8=1.477$，$1.05^9=1.551$，$1.05^{10}=1.629$として計算せよ．
（注）複利での借金とは次のようなものである．ある年の年度初めに年利率$r$で$A$円を借りると，$1$年後の借金は$A(1+r)$円になる．ここで$B$円を返すと，$1$年目の年度末の借金残額は$\{A(1+r)-B\}$円になるから，$2$年後の借金は$\{A(1+r)-B\}(1+r)$円になる．
(1)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，$1$年目の年度末の借金残額はいくらになるか．
(2)$10$年目の年度末に返済を完了するためには，毎年，いくらずつ返済すればよいか．ただし，最後の答は，一万円未満を切り捨てて，一万円までの概数で答えよ．
(3)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，借金残額が初めて$500$万円以下となるのは何年目の年度末か．
（注）複利での借金とは次のようなものである．ある年の年度初めに年利率$r$で$A$円を借りると，$1$年後の借金は$A(1+r)$円になる．ここで$B$円を返すと，$1$年目の年度末の借金残額は$\{A(1+r)-B\}$円になるから，$2$年後の借金は$\{A(1+r)-B\}(1+r)$円になる．
(1)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，$1$年目の年度末の借金残額はいくらになるか．
(2)$10$年目の年度末に返済を完了するためには，毎年，いくらずつ返済すればよいか．ただし，最後の答は，一万円未満を切り捨てて，一万円までの概数で答えよ．
(3)毎年，年度末に$100$万円を返済するとき，借金残額が初めて$500$万円以下となるのは何年目の年度末か．
国立 信州大学 2010年 第2問数直線上を動く点Pが，はじめ原点の位置にある．さいころを投げて，偶数の目が出ればPは正の向きに出た目の数だけ進み，奇数の目が出ればPは負の向きに出た目の数だけ進む．さいころを続けて4回投げるとき，次の確率を求めよ．
(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率
(1)少なくとも2回は2の目が出て，最後にPの座標が2になる確率
(2)最後にPの座標が2になる確率
国立 鳥取大学 2010年 第3問次の問いに答えよ．
(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする．乗り降りに要する時間は無視する．
(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
(4)2人乗りの車を持っているA君は，B$_1$君，B$_2$君，$\cdots$，B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした．最初B$_1$君はA君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時にP地点を出発した．しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし，A君はB$_2$君を迎えに引き返し，B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう．途中，歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし，B$_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点で全員が一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする．乗り降りに要する時間は無視する．「$n$は，2以上の整数とする．」
(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
(1)2人乗りの車を持っているA君は，B君，C君とP地点からQ地点へ出かけることにした．B君はA君の車に乗り，C君は歩くこととし，3人同時にP地点を出発した．しばらくしてB君は車から降りて歩くこととし，A君はC君を迎えに引き返し，C君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点でB君と一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは2人とも毎時$p\;$km \ ($v>p$)とする．乗り降りに要する時間は無視する．
(2)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(3)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
(4)2人乗りの車を持っているA君は，B$_1$君，B$_2$君，$\cdots$，B$_n$君とP地点からQ地点へ出かけることにした．最初B$_1$君はA君の車に乗り，残りの$(n-1)$人は歩くこととし，全員同時にP地点を出発した．しばらくしてB$_1$君は車から降りて歩くこととし，A君はB$_2$君を迎えに引き返し，B$_2$君を乗せてQ地点へ向かう．途中，歩いているB$_1$君と出会ったところでB$_2$君を降ろし，B$_3$君を迎えに引き返す．これを繰り返して最後のB$_n$君を乗せてQ地点へ向かうと，ちょうどQ地点で全員が一緒になった．車の速さはつねに毎時$v\;$kmで，歩く速さは全員同じで毎時$p\;$km$(v>p)$とする．乗り降りに要する時間は無視する．「$n$は，2以上の整数とする．」
(5)P地点からQ地点までの平均の速さを求めよ．
(6)P地点からQ地点までの移動でどれだけの時間をA君は1人で車に乗っていたか，その割合を求めよ．
国立 佐賀大学 2010年 第2問以下の問いに答えよ．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．
(1)$n$と$r$を自然数とする．
\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．
(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．