「最後」について
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国立 北海道大学 2015年 第4問初めに赤玉$2$個と白玉$2$個が入った袋がある．その袋に対して以下の試行を繰り返す．
(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．
(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．
(i) まず同時に$2$個の玉を取り出す．
(ii) その$2$個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉$2$個を袋に入れる．
(iii) 最後に白玉$1$個を袋に追加してかき混ぜ，$1$回の試行を終える．
$n$回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数を$X_n$とする．
(1)$X_1=3$となる確率を求めよ．
(2)$X_2=3$となる確率を求めよ．
(3)$X_2=3$であったとき，$X_1=3$である条件付き確率を求めよ．
国立 千葉大学 2015年 第4問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第2問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
国立 千葉大学 2015年 第3問さいころを$5$回振るとき，初めの$4$回においては$6$の目が偶数回出て，しかも最後の$2$回においては$6$の目がちょうど$1$回出る確率を求めよ．ただし，$6$の目が一度も出ない場合も$6$の目が出る回数を偶数回とみなす．
公立 北九州市立大学 2015年 第1問自然数の列を区切って，次のように群に分ける．第$1$群に入る項の個数は$1$個である．また，第$n+1$群に入る項の個数は第$n$群の最後の項と同じ数とする．ただし，$n$は自然数である．また，群に入る項が$1$個の場合は，その数が最初の項でありかつ最後の項であるとする．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．
\[ |\ 1 \ |\ 2 \ |\ 3,\ 4 \ |\ 5,\ 6,\ 7,\ 8 \ |\ 9,\cdots \]
第$n$群の最後の項を$b_n$とおき，第$n$群に入る項の個数を$c_n$とおく．以下の問題に答えよ．
(1)項$b_3,\ b_4,\ b_5$を求めよ．また，項$b_n$を$n$を用いて表せ．
(2)項数$c_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$1000$は第何群の第何項目であるかを求めよ．
(4)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群の最初の項は$3$の倍数であることを示せ．
(5)$n$が$3$以上の奇数のとき，第$n$群または第$n+1$群に含まれる項のうち$3$の倍数である項の個数を$n$を用いて表せ．
公立 宮城大学 2014年 第3問次の空欄$[ア]$から$[エ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の順に問題を考える．
(1)出た目の最大値が$4$以下である確率$P$は，$P=[ア]$である．
(2)次に，出た目の最大値が$k$以下である事象を考える．この事象の確率$Q$を$k$を用いて表せば，$Q=[イ]$である．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(3)また，出た目の最大値が$k$である事象を考える．この事象の確率$R$を$k$を用いて表せば，$R=[ウ]$である．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(4)最後に，出た目の最大値の期待値$E$を求めれば，$E=[エ]$となる．
$3$個のさいころを同時に投げるとき，次の順に問題を考える．
(1)出た目の最大値が$4$以下である確率$P$は，$P=[ア]$である．
(2)次に，出た目の最大値が$k$以下である事象を考える．この事象の確率$Q$を$k$を用いて表せば，$Q=[イ]$である．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(3)また，出た目の最大値が$k$である事象を考える．この事象の確率$R$を$k$を用いて表せば，$R=[ウ]$である．ただし，$k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．
(4)最後に，出た目の最大値の期待値$E$を求めれば，$E=[エ]$となる．
国立 横浜国立大学 2013年 第3問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
国立 横浜国立大学 2013年 第4問1つの整数を表示する装置がある．最初に2013が表示されている．さいころを1回投げるたびに次の操作$(*)$を行う．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
\mon[$(*)$] 表示されている整数をさいころの出た目の数で割った余り$r$を求め，装置に$r$を表示させる．
さいころを$n$回投げたとき，最後に装置に表示されている整数が0である確率を$a_n$，1である確率を$b_n$，3である確率を$c_n$とする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1$を求めよ．
(2)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$a_{n-1},\ b_{n-1},\ c_{n-1}$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を$n$の式で表せ．
私立 神戸薬科大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)命題「メタンならば炭化水素である」の逆は$[ ]$であり，対偶は$[ ]$である．
(2)薬の瓶が$n$個と薬の錠剤が幾つかあった．$1$瓶に$60$錠ずつ入れると，最後の瓶は$48$錠入る予定であった．ところが錠剤を$50$錠消費した．残った錠剤を$1$瓶に$55$錠ずつ入れると瓶は不足し，$1$瓶に$56$錠ずつ入れると最後の瓶には錠剤が$1$錠以上$56$錠未満入った．瓶の個数$n$は$[ ]$以上$[ ]$以下である．
(1)命題「メタンならば炭化水素である」の逆は$[ ]$であり，対偶は$[ ]$である．
(2)薬の瓶が$n$個と薬の錠剤が幾つかあった．$1$瓶に$60$錠ずつ入れると，最後の瓶は$48$錠入る予定であった．ところが錠剤を$50$錠消費した．残った錠剤を$1$瓶に$55$錠ずつ入れると瓶は不足し，$1$瓶に$56$錠ずつ入れると最後の瓶には錠剤が$1$錠以上$56$錠未満入った．瓶の個数$n$は$[ ]$以上$[ ]$以下である．
公立 宮城大学 2013年 第2問次の空欄$[タ]$から$[ト]$にあてはまる数や式を書きなさい．
次のような整数の数列$\{a_n\}$がある．
$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-2,\ n-1,\ n,\ n-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$
ここで，$a_1=1$だけからなる群を第$1$群，$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする．一般に，$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ k-1,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする．
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$[タ]$個となる．
(2)第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$[チ]$となる．
(3)整数$7$が，数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$群に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$[ツ]$回となる．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．
(4)数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$[テ]$群に属し，その第$[テ]$群の先頭から$[ト]$番目の項である．
次のような整数の数列$\{a_n\}$がある．
$1,\ 1,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 4,\ 3,\ 2,\ 1,\ \cdots,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n-2,\ n-1,\ n,\ n-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots$
ここで，$a_1=1$だけからなる群を第$1$群，$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=1$からなる群を第$2$群と呼ぶことにする．一般に，$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \cdots,\ k-1,\ k,\ k-1,\ \cdots,\ 3,\ 2,\ 1$からなる群を第$k$群と呼ぶことにする．
このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)第$n$群の項数を$n$を用いて表せば$[タ]$個となる．
(2)第$n$群に属する項すべての整数の和を$n$を用いて表せば$[チ]$となる．
(3)整数$7$が，数列$\{a_n\}$の初項から「第$n$群に含まれる最後の項」までの間に現れる回数を$n$を用いて表せば$[ツ]$回となる．ただし，$n$は$7$以上の自然数とする．
(4)数列$\{a_n\}$の第$364$項は第$[テ]$群に属し，その第$[テ]$群の先頭から$[ト]$番目の項である．