「最小」について
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国立 秋田大学 2010年 第3問$xy$平面上の放物線$C:y=x^2-3x$と，点P$(1,\ -6)$に対して，次の問いに答えよ．
(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．
(1)Pを通って放物線$C$に接する直線の方程式を求めよ．
(2)放物線$C$と(1)の直線との接点のうち$x$座標が負のものをQ，正のものをRとする．Sは直線QR上にありQと異なる点とする．Sの$x$座標を$t$とし，P，Q，Sの3点を通る円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とするとき，$l,\ m,\ n$をそれぞれ$t$の式で表せ．
(3)(2)の円の中心の軌跡を求めよ．さらに，(2)の円の半径が最小となる$t$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第2問次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
国立 新潟大学 2010年 第3問次の条件(ア)～(ウ)を満たす数列$\{p_n\}$について考える．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
\mon[(ア)] $p_1 \leqq p_2 \leqq \cdots \leqq p_n \leqq \cdots$である．
\mon[(イ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$はどれも自然数である．
\mon[(ウ)] $p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n,\ \cdots$の中にはすべての自然数$k$が現れ，その個数は$k$以上$k+2$以下である．
条件(ア)～(ウ)を満たし，すべての自然数$k$がちょうど$k$個現れる数列
\[ 1,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \uebrace{k,\ k,\ \cdots,\ k}^{k個},\ \cdots \]
を$\{a_n\}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)項数5の数列で，数列$\{p_n\}$の初めの5項となり得るものをすべて挙げよ．
(2)数列$\{a_n\}$の第210項$a_{210}$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \sum_{i=1}^{50}p_i$のとり得る最小の値を求めよ．
国立 旭川医科大学 2010年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\sin x \ \left( -\frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$の逆関数を$g(x) \ (-1 \leqq t \leqq 1)$とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
(1)$-1<x<1$のとき，$g^\prime(x)$を$x$を用いて表せ．
(2)曲線$y=\sin^2 x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$と直線$y=t \ (0<t<1)$の2つの交点の$x$座標を，それぞれ$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とおくとき，$\displaystyle \int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx$を$t$と関数$g$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle h(t)=\frac{2}{\pi}\int_\alpha^\beta \sin^2 x \, dx-\sqrt{1-t^2} \ (0<t<1)$とおくとき，$h(t)<0 \ (0<t<1)$を示し$h(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．
国立 小樽商科大学 2010年 第2問$a$を実数とするとき，次の問いに答えよ．
(1)不等式$y \leqq x^2-4ax+3a^2,\ 0 \leqq x \leqq 1,\ y \geqq 0$を満たす領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)面積$S$を最小にする$a$の値を求めよ．
(1)不等式$y \leqq x^2-4ax+3a^2,\ 0 \leqq x \leqq 1,\ y \geqq 0$を満たす領域の面積$S$を$a$を用いて表せ．
(2)面積$S$を最小にする$a$の値を求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第7問$\triangle \mathrm{ABC}$は，1辺の長さが1の正三角形で，$t$は正の実数とする．$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおく．直線$\mathrm{AB},\ \mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{D},\ \mathrm{E}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=t \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=t \overrightarrow{c}$をみたしている．正三角形$\triangle \mathrm{ADE}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{BE}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{MC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{MG}}$を計算せよ．
(2)$t$が正の実数全体を動くとき，$\triangle \mathrm{CGM}$の面積を最小にする$t$の値と，そのときの面積を求めよ．
国立 千葉大学 2010年 第8問$a,\ b$は実数とする．関数$f(x)$は，
\[ f(x)=a \sin x+b \cos x+\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos t \, dt \]
をみたし，かつ，$-\pi \leqq x \leqq \pi$における最大値は$2 \pi$である．このとき，
\[ \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
を最小にする$a,\ b$の値と，その最小値を求めよ．
\[ f(x)=a \sin x+b \cos x+\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos t \, dt \]
をみたし，かつ，$-\pi \leqq x \leqq \pi$における最大値は$2 \pi$である．このとき，
\[ \int_{-\pi}^\pi \{f(x)\}^2 \, dx \]
を最小にする$a,\ b$の値と，その最小値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2010年 第3問関数$y=x^3-3x^2+3$について，次の問いに答えよ．
(1)この関数のグラフに点$(3,\ -1)$から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，その$x$座標が最小のものを$\mathrm{A}$，最大のものを$\mathrm{B}$とする．2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点を$\mathrm{P}(s,\ s^3-3s^2+3)$とする．ただし，$2-\sqrt{3}<s<2+\sqrt{3}$である．このとき，点$\mathrm{P}$と(2)で求めた直線との距離$d$を$s$で表し，$d$の最大値を求めよ．
(1)この関数のグラフに点$(3,\ -1)$から接線を引く．このとき，すべての接点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた接点のうち，その$x$座標が最小のものを$\mathrm{A}$，最大のものを$\mathrm{B}$とする．2点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を通る直線の方程式を求めよ．
(3)この関数のグラフ上の点を$\mathrm{P}(s,\ s^3-3s^2+3)$とする．ただし，$2-\sqrt{3}<s<2+\sqrt{3}$である．このとき，点$\mathrm{P}$と(2)で求めた直線との距離$d$を$s$で表し，$d$の最大値を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2010年 第2問$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$を考える．次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$の面積を求めよ．
(2)各頂点$\mathrm{A}_i$から辺上に反時計回りに$x$だけ進んだ点を$\mathrm{B}_i$とする．ただし$0<x<1$とする．六角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4 \mathrm{B}_5 \mathrm{B}_6$の面積を$x$を使って表し，それが最小となる$x$およびそのときの面積を求めよ．
(1)$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_5 \mathrm{A}_6$の面積を求めよ．
(2)各頂点$\mathrm{A}_i$から辺上に反時計回りに$x$だけ進んだ点を$\mathrm{B}_i$とする．ただし$0<x<1$とする．六角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4 \mathrm{B}_5 \mathrm{B}_6$の面積を$x$を使って表し，それが最小となる$x$およびそのときの面積を求めよ．
国立 東京海洋大学 2010年 第2問$1$から順に自然数$n$を$2n$個ずつ並べた数列
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \sitabrace{n,\ n,\ \cdots,\ n}_{2n個},\ \cdots \]
を考える．
(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$k$項までの和が$5555$以上になるような最小の$k$を求めよ．
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ 3,\ \cdots,\ \sitabrace{n,\ n,\ \cdots,\ n}_{2n個},\ \cdots \]
を考える．
(1)第$200$項を求めよ．
(2)初項から第$200$項までの和を求めよ．
(3)初項から第$k$項までの和が$5555$以上になるような最小の$k$を求めよ．