「最小」について
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国立 福井大学 2010年 第4問$k$を実数とする．Oを原点とする座標平面上の曲線$C:y=\log x -k$について，$C$の接線のうちOを通るものを$\ell_1$とし，その接点をPとする．以下の問いに答えよ．
(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$\ell_1$の方程式を，$k$を用いて表せ．
(2)点Pにおける$C$の法線を$\ell_2$とし，$\ell_2$と$x$軸との交点の$x$座標を$\alpha$とおく．$\alpha$を$k$を用いて表せ．さらに，$\alpha$が最小となる$k$の値および$\alpha$の最小値を求めよ．
(3)$k$を(2)で求めた値とするとき，$C$と$\ell_1$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 福井大学 2010年 第3問$k$を正の整数とし，$a_1=k,\ a_{n+1}=2a_n+1 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)すべての$n$に対して，$a_{n+4}-a_n$は15で割り切れることを示せ．
(2)$a_{2010}$が15の倍数となる最小の$k$を求めよ．
(1)すべての$n$に対して，$a_{n+4}-a_n$は15で割り切れることを示せ．
(2)$a_{2010}$が15の倍数となる最小の$k$を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2010年 第3問関数$f(t)=2(\cos t-\sin t),\ g(t)=\cos t+\sin t$を用いて媒介変数表示された，$xy$平面上の曲線$C:x=f(t),\ y=g(t)$がある．点A$\displaystyle \left( \frac{3}{4},\ \frac{3}{2} \right)$から$C$上の点P$(f(t),\ g(t))$までの距離APの2乗$\text{AP}^2$を$h(t)$とおく．
(1)$\displaystyle \frac{d}{dt}h(t)=0$となる$t$の値を$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲ですべて求めよ．
(2)$C$は楕円であることを示せ．
(3)Pが$C$上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．
(1)$\displaystyle \frac{d}{dt}h(t)=0$となる$t$の値を$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲ですべて求めよ．
(2)$C$は楕円であることを示せ．
(3)Pが$C$上を動くとき，APを最小にするPの座標，およびAPを最大にするPの座標を求めよ．
国立 秋田大学 2010年 第3問$xy$平面上の放物線$y=x^2$の$x \geqq 0$の部分を$C$とし，$C$上の点P$(x,\ y)$と点A$(0,\ a)$の間の距離をAPで表す．次の問いに答えよ．
(1)APを$a$と$y$を用いて表せ．
(2)Pが$C$上を動くとき，$\text{AP}^2$を最小にするPをP$_0$とする．P$_0$が原点Oと異なるような$a$の範囲を求め，そのときのP$_0$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)(2)のP$_0$に対して，$\triangle$OP$_0$Aの内角$\angle \text{OP}_0 \text{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta=2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．
(1)APを$a$と$y$を用いて表せ．
(2)Pが$C$上を動くとき，$\text{AP}^2$を最小にするPをP$_0$とする．P$_0$が原点Oと異なるような$a$の範囲を求め，そのときのP$_0$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)(2)のP$_0$に対して，$\triangle$OP$_0$Aの内角$\angle \text{OP}_0 \text{A}$の大きさを$\theta$とするとき，$\tan \theta=2\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第5問座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第5問座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第5問座標平面における4分の1円：$x^2+y^2 \leqq 1 \ (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$を，原点を通り$x$軸の正の向きと$\theta$の角をなす直線のまわりに1回転させてできる立体の体積を$V(\theta)$とおく．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．
(1)$\displaystyle V(0),\ V \left( \frac{\pi}{4} \right)$の値を求めよ．
(2)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$のとき$V(\theta)$を求めよ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$V(\theta)$が最小となる$\theta$を求めよ．