等差数列$\{a_n\}$は$a_9=-5,\ a_{13}=6$を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)一般項$a_n$を求めよ．
(2)$a_n$が正となる最小の$n$を求めよ．
(3)第1項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．
(4)$S_n$が正となる最小の$n$を求めよ．

点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．

実数$a$は$0 \leqq a \leqq 4$を満たす．このとき，関数$f(x)=x(x-4),\ g(x)=a(x-4)$に対して，$\displaystyle \int_0^4 \bigl|f(x)-g(x) \bigr| \, dx$を最小にする$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x\sin x \, dx$を求めよ．
(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos x \, dx$を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (x^2+a \cos x)^2 \, dx$を最小にする実数$a$の値を求めよ．

青球6個と赤球$n$個$(n \geqq 2)$が入っている袋から，3個の球を同時に取り出すとき，青球が1個で赤球が2個である確率を$P_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$P_n$を$n$の式で表せ．
(2)$P_n > P_{n+1}$をみたす最小の$n$を求めよ．
(3)$P_n$を最大にする$n$の値を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

$0<m<1$とする．$f(x)=x^2,\ g(x)=mx$とおく．この$f(x)$と$g(x)$を$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で考える．

(1)放物線$y=f(x)$と直線$y=g(x)$および直線$x=1$で囲まれるふたつの図形の面積の和を$S(m)$とする．$S(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．
(2)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲での$|f(x)-g(x)|$の最大値を$h(m)$とする．$h(m)$を最小にする$m$とそのときの値を求めよ．

原点をOとし，空間内に3点A$(4,\ 0,\ 0)$，B$(1,\ 2,\ 0)$，C$(2,\ 1,\ 2)$をとる．線分BCを$t:(1-t) \ (0<t<1)$に内分する点をPとおく．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle$OAPの面積を最小にする$t$の値を求めよ．
(2)Cを通り，3点O，A，Pを通る平面に垂直な直線と$xy$平面との交点をDとする．Dが$\triangle$OABの内部にあるとき，$t$の範囲を求めよ．

座標平面上に2つの円
\begin{eqnarray}
& & C_1:(x+1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber \\
& & C_2:(x-1)^2+(y-1)^2=1 \nonumber
\end{eqnarray}
がある．不等式$y>2$が表す領域$D$内に点P$(a,\ b)$をとる．点Pから円$C_1,\ C_2$にひいた接線と$x$軸との交点をそれぞれA，Bとする．ただし，下図のように$\triangle$PABは円$C_1,\ C_2$をともに含むものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$b$を定数とするとき，辺ABの長さが最小となるのは$a=0$のときであることを示せ．
(2)点Pが領域$D$内を動くとき，$\triangle$PABの面積の最小値を求めよ．


\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=2a_n+2 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義されるとき，次の問いに答えよ．

(1)すべての自然数$n$に対して$a_{n+1}+b=2(a_n+b)$が成り立つような定数$b$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{a_{2n}}{a_n} \geqq 10^{25}+1$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．