$a$を正の実数とする．放物線$P:y = x^2$上の点A$(a,\ a^2)$における接線を$\ell_1$とし，点Aを通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．また，$\ell_2$と放物線$P$との交点のうちAではない方をB$(b,\ b^2)$とする．さらに，点Bを通り$\ell_1$に平行な直線を$\ell_3$とし，$\ell_3$と放物線$P$との交点のうちBではない方をC$(c,\ c^2)$とする．

(1)$b+c = 2a$であることを示せ．
(2)放物線$P$と$\ell_3$で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$を用いて表し，$S$が最小になるときの$S$と$a$の値を求めよ．

$a>0$とする．放物線$\displaystyle C : y = \frac{a}{2}x^2$上の点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{a}{2} \right)$を通り，Pを通る接線に直交する直線を$\ell$，$y$軸と$\ell$との交点をQとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)線分PQ，$y$軸および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を最小にする$a$の値を求めよ．
(3)直線$\ell$，$y$軸，直線$x = -1$および放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2 = 2S_1$となる$a$の値を求めよ．

数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$を次のように定める．
\begin{itemize}
$a_1=1$とする．
$\displaystyle a_n \geqq \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n-1$とする．
$\displaystyle a_n < \frac{5}{4}(n+1)$であれば，$a_{n+1}=a_n+2$とする．
\end{itemize}
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$a_6$を求めよ．
(2)$a_{4m-1}=5m \ (m=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_n > 2010$となる最小の$n$を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す．

(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．

平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-t^2,\quad y=1-t^2 \quad (0 \leqq t \leqq 1) \]
で与えられている．このとき，点Pの描く曲線を$C$とおく．

(1)$0<t<1$の範囲で，点Pの速さ(速度の大きさ)が最小になる時刻$t$を求めよ．
(2)(1)で求めた時刻$t$に対応する$C$上の点における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)接線$\ell$と曲線$C$は，接点以外に共有点を持たないことを示せ．
(4)曲線$C$，接線$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

$k$は定数で，$k > 0$とする．曲線$C : y = kx^2 \ (x \geqq 0)$と2つの直線$\displaystyle \ell : y = kx+\frac{1}{k},\ m : y = -kx+\frac{1}{k}$との交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta \ (0 < \beta < \alpha)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\alpha-\beta$の値を求めよ．
(2)$\alpha \beta,\ \alpha^2+ \beta^2$および$\alpha^3- \beta^3$を$k$を用いて表せ．
(3)曲線$C$と2直線$\ell,\ m$とで囲まれた部分の面積を最小にする$k$の値を求めよ．また，そのときの面積を求めよ．

$t>1$を満たす実数$t$に対して，$\displaystyle S(t)=\int_0^1 |xe^x - tx|\, dx$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq x \leqq 1$の範囲で，方程式$xe^x=tx$を満たす$x$をすべて求めよ．
(2)$S(t)$を求めよ．
(3)$S(t)$を最小にする$t$の値を求めよ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0<x<\pi$のとき，
\[ \sin x - x \cos x > 0 \]
を示せ．
(2)定積分
\[ I=\int_0^\pi |\sin x -ax| \, dx \quad (0<a<1) \]
を最小にする$a$の値を求めよ．

$y=x^3-mx+n$が$x$軸と接しているとする．

(1)$n^2$を$m$で表せ．
(2)$m,\ n$が自然数のときに，$n$が最小となるときの$m,\ n$を求めよ．