次の積分
\[ \int_{-1}^1 x^2(x^3+ax+b)^2 \, dx \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{[アイ]}{[ウ]}$で，$b$の値は$[エ]$である．

数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする．
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して，それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい．
(2)$a_n$の一般項を推定し，推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい．
(3)$\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい．

数列$\{a_n\}$が，$\displaystyle a_1=\frac{2}{3},\ a_{n+1}=\frac{2-a_n}{3-2a_n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を推定し，それが正しいことを数学的帰納法により証明せよ．
(3)$\displaystyle a_{n+1}-a_n<\frac{1}{5000}$を満たす最小の$n$を求めよ．

初項$a$，公比$r$の等比数列$\{a_n\}$において
\[ a_1<a_2,\quad a_1+a_2+a_3=42,\quad a_1a_2a_3=512 \]
とする．ただし，$a,\ r$は実数である．

(1)初項$a$と公比$r$を求めよ．
(2)$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とするとき，$S_n>10^5$を満たす最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$とする．

ベクトル$\overrightarrow{x_1}=(0,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{x_2}=(1,\ 0,\ 1)$，$\overrightarrow{x_3}=(1,\ 1,\ 0)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \overrightarrow{b_1}=\frac{\overrightarrow{x_1}}{|\overrightarrow{x_1}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}|$を最小にする実数$s$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_2}=\overrightarrow{x_2}-s \overrightarrow{b_1}$を求めよ．
(2)$\displaystyle \overrightarrow{b_2}=\frac{\overrightarrow{y_2}}{|\overrightarrow{y_2}|}$とおくとき，$|\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1} - u \overrightarrow{b_2}|$を最小にする実数$t,\ u$の値とそのときのベクトル$\overrightarrow{y_3}=\overrightarrow{x_3}-t \overrightarrow{b_1}-u \overrightarrow{b_2}$を求めよ．
(3)$\displaystyle \overrightarrow{b_3}=\frac{\overrightarrow{y_3}}{|\overrightarrow{y_3}|}$とおくとき，$\overrightarrow{b_1},\ \overrightarrow{b_2},\ \overrightarrow{b_3}$は互いに直交することを示せ．

$a,\ b$を実数とする．

(1)定積分
\[ I(a,\ b)=\int_{-\pi}^\pi (1+a \sin x+bx)^2 \, dx \]
を求めよ．
(2)$a,\ b$が実数全体を動くとき，$(1)$の定積分$I(a,\ b)$を最小にするような実数の組$(a,\ b)$がただ一組存在することを示し，そのような$(a,\ b)$及び$I(a,\ b)$の最小値を求めよ．

原点をOとする$xyz$空間内で，$x$軸上の点A，$xy$平面上の点B，$z$軸上の点Cを，次をみたすように定める．
\[ \angle \text{OAC} = \angle \text{OBC} = \theta, \quad \angle \text{AOB} = 2\theta, \quad \text{OC}=3 \]
ただし，Aの$x$座標，Bの$y$座標，Cの$z$座標はいずれも正であるとする．さらに，$\triangle$ABC内の点のうち，Oからの距離が最小の点をHとする．また，$t = \tan \theta$とおく．

(1)線分OHの長さを$t$の式で表せ．
(2)Hの$z$座標を$t$の式で表せ．

次の各問に答えよ．

(1)座標平面上で，点$(1,\ 2)$を通り傾き$a$の直線と放物線$y=x^2$によって囲まれる部分の面積を$S(a)$とする．$a$が$0 \leqq a \leqq 6$の範囲を変化するとき，$S(a)$を最小にするような$a$の値を求めよ．
(2)$\triangle$ABCにおいて$\text{AB}=2,\ \text{AC}=1$とする．$\angle \text{BAC}$の二等分線と辺BCの交点をDとする．$\text{AD}=\text{BD}$となるとき，$\triangle$ABCの面積を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれがさいころを$1$回ずつ投げる．
\begin{itemize}
同じ目が出たときは$\mathrm{A}$の勝ちとし，異なる目が出たときには大きい目を出した方の勝ちとする．
$p,\ q$を自然数とする．$\mathrm{A}$が勝ったときは，$\mathrm{A}$が出した目の数の$p$倍を$\mathrm{A}$の得点とする．$\mathrm{B}$が勝ったときには，$\mathrm{B}$が出した目の数に$\mathrm{A}$が出した目の数の$q$倍を加えた合計を$\mathrm{B}$の得点とする．負けた者の得点は$0$とする．
\end{itemize}
$\mathrm{A}$の得点の期待値を$E_A$，$\mathrm{B}$の得点の期待値を$E_B$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$E_A,\ E_B$をそれぞれ$p,\ q$で表せ．
(2)$E_A = E_B$となる最小の自然数$p$と，そのときの$E_A$の値を求めよ．

$\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n+1)}$を第$n$項とする数列を，次のように奇数個ずつの群に分ける．
\begin{eqnarray}
& & \{a_1\},\quad \{a_2,\ a_3,\ a_4 \},\quad \{a_5,\ a_6,\ a_7,\ a_8,\ a_9\},\ \cdots \quad \nonumber \\
& & \text{第$1$群} \qquad \ \text{第$2$群} \qquad \qquad \quad \ \text{第$3$群} \nonumber
\end{eqnarray}
$k$を自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)第$k$群の最初の項を求めよ．
(2)第$k$群に含まれるすべての項の和$S_k$を求めよ．
(3)$\displaystyle (k^2+1)S_k \leqq \frac{1}{100}$を満たす最小の自然数$k$を求めよ．