次の$[　]$を数値でうめよ．

放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{4a_n}{3a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$a_2,\ a_3,\ a_4$を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$a_n-1<10^{-5}$となる最小の自然数$n$を求めよ．ただし$\log_{10}2=0.3010$とする．

曲線$y=x^2-1$上を動く点$\mathrm{P}$と，直線$y=x-3$上を動く点$\mathrm{Q}$との距離が最小となるときの点$\mathrm{Q}$の座標は$[　]$であり，このときの距離は$[　]$である．

$0<k<2$とする．曲線$C:y=x^2$上を動く点$\mathrm{P}$と，直線$y=2k(x-1)$上を動く点$\mathrm{Q}$との距離が最小となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$の式で表すと$[　]$である．このときの直線$\mathrm{PQ}$と曲線$C$とで囲まれる部分の面積が最小になる$k$の値を求めると，$k=[　]$である．

次の問いに答えよ．

(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．

あるゲームでは，確率$p$で表が出るコインを$3$回投げる．表が$3$回出れば$15$円，ちょうど$2$回出れば$3$円，$1$回だけ出れば$1$円，$1$回も出なければ$6$円それぞれ支払わなければならない．

(1)支払額の期待値を$p$の関数として表せ．
(2)支払額の期待値を最小にするような$p$の値とそのときの期待値を求めよ．

数列$\{a_n\} (n \geqq 1)$の初項から第$n$項までの和$S_n$が$S_n=2n^3-49n^2+409n-351$で与えられている．以下の各問に答えよ．

(1)$a_1,\ a_2$の値を求めよ．
(2)$a_n (n \geqq 2)$を$n$の式で表せ．
(3)$\{a_n\} (n \geqq 1)$のうちで，$a_n$の値が最小となる$n$と，そのときの$a_n$の値を求めよ．

放物線$y=-x^2+1$上の点$(\alpha,\ -\alpha^2+1)$における接線を$\ell_1$とし，点$(\beta,\ -\beta^2+1)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$\alpha<0<\beta$で$\beta-\alpha=c$（一定）とする．

(1)接線$\ell_1$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_1$を$\alpha$で表せ．
(2)接線$\ell_2$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_2$を$\beta$で表せ．
(3)面積の和$S_1+S_2$が最小となるときの$\alpha,\ \beta$とそのときの最小値を$c$で表せ．

次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．

(1)${(2x+3y)}^3+{(2x-3y)}^3$を展開すると$[$1$]$になる．
(2)$-1<a<0<b<c$とするとき，
\[ -\frac{a}{c},\ \frac{a}{c},\ \frac{1}{ac},\ -\frac{1}{ab},\ -\frac{1}{ac} \]
の$5$つの数のうち，小さい方から$2$番目の数は$[$2$]$であり$4$番目の数は$[$3$]$である．
(3)$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta<\frac{3\pi}{2}$のときに
\[ 2 \sin^3 \theta-\sin \theta=0 \]
の解をすべて記すと$[$4$]$である．
(4)$a,\ b$を定数とする$x$に関する$3$次方程式
\[ 2x^3+ax^2+bx-10=0 \]
の$2$つの解が$x=1,\ 2$であるとき，$a=[$5$]$，$b=[$6$]$であり，もう$1$つの解は$[$7$]$である．
(5)$\mathrm{P}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{L}$の文字が$1$つずつ刻まれているタイルが$6$枚ある．これらを横$1$列に並べるとき，$\mathrm{P}$が$\mathrm{E}$より左で，かつ，$\mathrm{N}$が$\mathrm{E}$より右となる確率は$[$8$]$である．
(6)$a$を定数とする方程式$x^3-6x^2-a=0$の異なる実数解は，$a$の値が$[$9$]$の場合には$3$個，$[$10$]$または$[$11$]$の場合には$2$個，$[$12$]$または$[$13$]$の場合には$1$個，それぞれ存在する．
(7)$\alpha$を実数として，空間における原点$\mathrm{O}$と$2$点$\mathrm{A}(-1,\ \alpha,\ \alpha)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ \alpha)$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を最小にする$\alpha$の値は$[$14$]$であり，このとき，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$[$15$]$である．
(8)点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円の円周上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$における接線上に$\mathrm{AB}=2$となる点$\mathrm{B}$をとる．次に，点$\mathrm{B}$から$\mathrm{BC}=2$となるように円周上に点$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{C}$をとる．このとき，三角形$\mathrm{OAC}$の面積は$[$16$]$であり，$\sin \angle \mathrm{CAB}=[$17$]$である．
（図は省略）

$\angle \mathrm{A}={30}^\circ$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{C}$を点$\mathrm{P}_1$として，$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_1$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_2$をとる．次に，図のように，$\triangle \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2 \mathrm{P}_3$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_2$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_3$をとる．以下同様にして，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$が正三角形になるように，辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{Q}_n$，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{P}_{n+1}$をとる．（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）
（図は省略）

$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$S_n$，$\triangle \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$の面積を$T_n$とする．

(1)$\mathrm{BC}$と$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の長さを，二重根号を用いない形で求めよ．
(2)$S_1,\ T_1$の値を求めよ．
(3)$S_n$を$n$を用いて表せ．また，$\displaystyle S_n<\frac{1}{1000}$をみたす最小の$n$の値を求めよ．
(4)$T_n$を$n$を用いて表せ．また，和$\displaystyle \sum_{n=1}^5 T_n$の値を求めよ．