「最小」について
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私立 青山学院大学 2013年 第5問次の問に答えよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int te^t \, dt$を求めよ．
(2)$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数$a$について，定積分$\displaystyle S=\int_0^1 |t-a|e^t \, dt$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$を最小とするような$a$の値を求めよ．
(1)不定積分$\displaystyle \int te^t \, dt$を求めよ．
(2)$0 \leqq a \leqq 1$を満たす定数$a$について，定積分$\displaystyle S=\int_0^1 |t-a|e^t \, dt$を$a$を用いて表せ．
(3)$a$が$0 \leqq a \leqq 1$の範囲を動くとき，$S$を最小とするような$a$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．
(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．
私立 早稲田大学 2013年 第4問$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．
私立 早稲田大学 2013年 第1問次の問に答えよ．
(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．
(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．
私立 立教大学 2013年 第2問関数$F(x)$を次のように定める．
\[ F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x^2 & (x \leqq 1) \\
-x^2+2x & (x>1) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
実数$k$が$0<k<1$を満たすとき，次の問に答えよ．
(1)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$の交点のうち，原点とは異なるものをすべて求めよ．
(2)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の下側にある部分の面積$S_1$を$k$を用いて表せ．
(3)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の上側にある部分の面積$S_2$を$k$を用いて表せ．
(4)$(2)$で求めた$S_1$と$(3)$で求めた$S_2$の和$S=S_1+S_2$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
\[ F(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
x^2 & (x \leqq 1) \\
-x^2+2x & (x>1) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
実数$k$が$0<k<1$を満たすとき，次の問に答えよ．
(1)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$の交点のうち，原点とは異なるものをすべて求めよ．
(2)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の下側にある部分の面積$S_1$を$k$を用いて表せ．
(3)直線$y=kx$と曲線$y=F(x)$で囲まれた$2$つの部分のうち，直線$y=kx$の上側にある部分の面積$S_2$を$k$を用いて表せ．
(4)$(2)$で求めた$S_1$と$(3)$で求めた$S_2$の和$S=S_1+S_2$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
私立 中京大学 2013年 第1問以下の各問で，$[ ]$にあてはまる数値または記号を求めよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は
$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$
をとり，
$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$
をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は
$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$
をとり，
$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$
をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．
私立 東京医科大学 2013年 第2問次の$[ ]$を埋めよ．
(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．
(1)座標平面上の放物線$C:y=a(x-b)^2$（$a,\ b$は正の定数）が点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{4}{5},\ \frac{3}{5} \right)$を通り，点$\mathrm{A}$における$C$の法線が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を通るとき，$\displaystyle a=\frac{[アイ]}{[ウエ]}$，$\displaystyle b=\frac{[オカ]}{[キク]}$である．
(2)不等式
\[ \log (n+9)-\log (n+8)<\frac{1}{100} \]
をみたす最小の正の整数$n$の値は$n=[ケコ]$である．ただし，対数は自然対数とする．
私立 ノートルダム清心女子大学 2013年 第3問以下の問いに答えなさい．
(1)図のように半径$R (>0)$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において三辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を半径$R$を用いて$\displaystyle S=\frac{G}{R}$のように表したとき，$G$を各辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表わしなさい．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-12,12)%
\tenretu*{O(0,0);A(5,8.6);B(-8.6,-5);C(9.5,-3)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\tenretu*{D(5,9.3);E(-11,-6);F(10.5,-4);G(0,-5.6);H(5.8,1);I(-3.1,2.7)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\G{$a$}
\emathPut\H{$b$}
\emathPut\I{$c$}
\end{zahyou*}
(2)図のように一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の各頂点から$x$だけ離れた各辺上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．このとき次の設問に答えなさい．ただし，$0 \leqq x \leqq 1$とする．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-14,15)%
\tenretu*{O(0,0);A(-10,10);B(-10,-10);C(10,-10);D(10,10);P(-10,6);Q(-6,-10);R(10,-6);S(6,10)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\D\A}%
\Drawline{\P\Q\R\S\P}%
}
\HenKo<henkoH=2mm>\A\P{}
\HenKo<henkoH=2mm>\B\Q{}
\HenKo<henkoH=2mm>\C\R{}
\HenKo<henkoH=2mm>\D\S{}
\tenretu*{A(-11,11);B(-12.5,-10);C(10,-12);D(11,10);P(-12,4.5);Q(-6,-12);R(11,-6);S(5,11)}%
\emathPut\A{$\mathrm{A}$}
\emathPut\B{$\mathrm{B}$}
\emathPut\C{$\mathrm{C}$}
\emathPut\D{$\mathrm{D}$}
\emathPut\P{$\mathrm{P}$}
\emathPut\Q{$\mathrm{Q}$}
\emathPut\R{$\mathrm{R}$}
\emathPut\S{$\mathrm{S}$}
\tenretu*{X(-12.8,7.7);Y(-8.8,-12.7);Z(11.5,-8.7);W(7.5,11.5)}%
\emathPut\X{$x$}
\emathPut\Y{$x$}
\emathPut\Z{$x$}
\emathPut\W{$x$}
\end{zahyou*}
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$の面積$W$を求めなさい．
(ii) $W$が最小となるときの$x$の値を求めなさい．また，そのときの$W$の値も求めなさい．
(1)図のように半径$R (>0)$の円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$において三辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．このとき$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を半径$R$を用いて$\displaystyle S=\frac{G}{R}$のように表したとき，$G$を各辺の長さ$a,\ b,\ c$を用いて表わしなさい．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-12,12)%
\tenretu*{O(0,0);A(5,8.6);B(-8.6,-5);C(9.5,-3)e;D(20,5)s}%
{\thicklines
\En\O{10}%
\Drawline{\A\B\C\A}%
}
\tenretu*{D(5,9.3);E(-11,-6);F(10.5,-4);G(0,-5.6);H(5.8,1);I(-3.1,2.7)}%
\emathPut\D{$\mathrm{A}$}
\emathPut\E{$\mathrm{B}$}
\emathPut\F{$\mathrm{C}$}
\emathPut\G{$a$}
\emathPut\H{$b$}
\emathPut\I{$c$}
\end{zahyou*}
(2)図のように一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の各頂点から$x$だけ離れた各辺上に点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$がある．このとき次の設問に答えなさい．ただし，$0 \leqq x \leqq 1$とする．
\begin{zahyou*}[ul=2mm](-12,12)(-14,15)%
\tenretu*{O(0,0);A(-10,10);B(-10,-10);C(10,-10);D(10,10);P(-10,6);Q(-6,-10);R(10,-6);S(6,10)}%
{\thicklines
\Drawline{\A\B\C\D\A}%
\Drawline{\P\Q\R\S\P}%
}
\HenKo<henkoH=2mm>\A\P{}
\HenKo<henkoH=2mm>\B\Q{}
\HenKo<henkoH=2mm>\C\R{}
\HenKo<henkoH=2mm>\D\S{}
\tenretu*{A(-11,11);B(-12.5,-10);C(10,-12);D(11,10);P(-12,4.5);Q(-6,-12);R(11,-6);S(5,11)}%
\emathPut\A{$\mathrm{A}$}
\emathPut\B{$\mathrm{B}$}
\emathPut\C{$\mathrm{C}$}
\emathPut\D{$\mathrm{D}$}
\emathPut\P{$\mathrm{P}$}
\emathPut\Q{$\mathrm{Q}$}
\emathPut\R{$\mathrm{R}$}
\emathPut\S{$\mathrm{S}$}
\tenretu*{X(-12.8,7.7);Y(-8.8,-12.7);Z(11.5,-8.7);W(7.5,11.5)}%
\emathPut\X{$x$}
\emathPut\Y{$x$}
\emathPut\Z{$x$}
\emathPut\W{$x$}
\end{zahyou*}
(i) 四角形$\mathrm{PQRS}$の面積$W$を求めなさい．
(ii) $W$が最小となるときの$x$の値を求めなさい．また，そのときの$W$の値も求めなさい．
公立 大阪市立大学 2013年 第3問$a>1$を満たす定数$a$に対し，座標が$(a,\ a)$である点を$\mathrm{A}$とする．関数$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$のグラフ上を動く点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$をとり，$t>0$で定義された関数$f(t)$を，長さ$\mathrm{AP}$を用いて$f(t)=\mathrm{AP}^2$で定める．次の問いに答えよ．
(1)$f(t)$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$f^\prime(t)=0$となる$t (t>0)$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$が最小になるような点$\mathrm{P}$の座標と，$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(1)$f(t)$を$t$と$a$を用いて表せ．
(2)$f^\prime(t)=0$となる$t (t>0)$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{AP}$が最小になるような点$\mathrm{P}$の座標と，$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
公立 首都大学東京 2013年 第2問実数$a$に対し
\[ I=\int_0^1 |xe^x-a| \, dx \]
とする．以下の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$0<a<e$のとき，$te^t=a$を満たす実数$t (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい．
(2)$0<a<e$のとき，$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい．
(3)$a$がすべての実数を動くとき，$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい．
\[ I=\int_0^1 |xe^x-a| \, dx \]
とする．以下の問いに答えなさい．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(1)$0<a<e$のとき，$te^t=a$を満たす実数$t (0<t<1)$がただ$1$つ存在することを示しなさい．
(2)$0<a<e$のとき，$I$の値を$(1)$の$t$を用いて表しなさい．
(3)$a$がすべての実数を動くとき，$I$の値を最小にする$a$とそのときの$I$の値を求めなさい．