「最小」について
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国立 佐賀大学 2013年 第4問関数$f(x)=xe^{-2x}$に関して次の問に答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．
(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$の概形をかけ．必要ならば，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}xe^{-2x}=0$を使ってよい．
(2)曲線$y=f(x)$の接線のうちで傾きが最小となるものを$\ell$とする．その接線$\ell$の方程式と接点$(a,\ f(a))$を求めよ．
(3)$x<a$において，接線$\ell$は曲線$y=f(x)$より常に上側にあることを証明せよ．ただし，$a$は(2)で求めたものとする．
(4)曲線$y=f(x)$，接線$\ell$，および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 和歌山大学 2013年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は次の条件を満たしている．
$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列
また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．
$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列
また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．
国立 和歌山大学 2013年 第1問数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は次の条件を満たしている．
$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列
また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．
$a_1=-15,\ a_3=-33,\ a_5=-35$，$\{b_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列，$\{b_n\}$は等差数列
また，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)一般項$a_n,\ b_n$を求めよ．
(2)$S_n$を求めよ．
(3)$S_n$が最小となるときの$n$を求めよ．
国立 滋賀大学 2013年 第4問$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$において辺$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_1 \mathrm{O}_1$，$\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$とする．次に，$\triangle \mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$において辺$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{O}_2$，$\mathrm{O}_2 \mathrm{A}_2$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_3$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{B}_3$とする．これをくり返して，$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$において辺$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，$\mathrm{B}_n \mathrm{O}_n$，$\mathrm{O}_n \mathrm{A}_n$の中点をそれぞれ$\mathrm{O}_{n+1}$，$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$とする．ただし，$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}_1 \mathrm{B}_1}=\overrightarrow{b}$，$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{6}$，$\displaystyle \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\frac{3}{2}$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(1)$\triangle \mathrm{O}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$の重心を$\mathrm{G}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{GO}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GA}}_1|$，$|\overrightarrow{\mathrm{GB}}_1|$の値を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$の重心が$\mathrm{G}$であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．
(3)$\triangle \mathrm{O}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$が$\mathrm{G}$を中心とする半径$10^{-4}$の円の内部に含まれる最小の$n$の値を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
国立 鳥取大学 2013年 第4問自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
国立 鳥取大学 2013年 第2問自然数の数列$\{a_n\}$の隣り合う$2$項に次の関係式が成り立つ．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
\[ \frac{a_{n+1}}{{a_n}^2}=3^n \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
また，$a_1=1$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$b_n=\log_3 a_n$とおくとき，$b_n$を$n$の式で表せ．
(2)$a_n \geqq 10^{100}$となる最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
国立 島根大学 2013年 第3問数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を，$\displaystyle a_1=1,\ b_1=0,\ a_{n+1}=\frac{1}{4}a_n-\frac{\sqrt{3}}{4}b_n,\ b_{n+1}=\frac{\sqrt{3}}{4}a_n+\frac{1}{4}b_n$によって定め，座標が$(a_n,\ b_n)$である点を$\mathrm{C}_n$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}|$を，$n$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OC}_n}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}_{n+1}}$のなす角を求めよ．
(3)$S_n$を$\triangle \mathrm{OC}_n \mathrm{C}_{n+1}$の面積とするとき，$\displaystyle S_n \leqq \frac{1}{2^{2013}}$をみたす最小の自然数$n$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2013年 第1問$\tan \alpha=2$，$\tan \beta=5$，$\displaystyle 0<\alpha,\ \beta<\frac{\pi}{2}$とする．$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$上で関数
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．
(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．
\[ f(x)=\sin (\alpha+\beta+x)+\cos (\alpha+\beta+x) \]
を考える．
(1)$\sin (\alpha+\beta),\ \cos (\alpha+\beta)$を求めよ．
(2)$\tan (\alpha+\beta+x)$の値の範囲を求めよ．
(3)$f(x)$の最大値，最小値を求めよ．
(4)$f(x)$が最小となるときの$x$を$\gamma$とする．$\alpha+\beta+\gamma,\ \tan \gamma$を求め，$\beta-\alpha>\gamma-\beta$となることを示せ．
(5)$\displaystyle \beta>\frac{5\pi}{12}$となることを示せ．
国立 群馬大学 2013年 第11問$\overrightarrow{a}=(1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 3)$とし$\overrightarrow{p}=(1-2t)\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$は$-1 \leqq t \leqq 1$を動くとする．
(1)$|\overrightarrow{p}|$の最大値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{p}|$が最小となるときの$\overrightarrow{p}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{a}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{A}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAM}$の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
(1)$|\overrightarrow{p}|$の最大値を求めよ．
(2)$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(3)$|\overrightarrow{p}|$が最小となるときの$\overrightarrow{p}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{a}$を位置ベクトルとする点を$\mathrm{A}$とするとき，$\triangle \mathrm{OAM}$の面積を求めよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点である．
国立 福井大学 2013年 第2問数列$\{a_n\}$が次の関係式を満たしている．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$S_n>0$となる最小の$n$を求めよ．
\[ a_1=-1,\quad 5a_{n+1}-4a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，必要であれば$\log_{10}2=0.3010$として計算してよい．
(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とおくとき，$S_n$を$n$の式で表せ．
(3)$S_n>0$となる最小の$n$を求めよ．