$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．

(1)$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=[$32$] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\frac{[$35$]}{[$36$]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$37$]}{[$38$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{[$39$]}{[$40$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$


と表せる．
(2)$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$\displaystyle -\frac{[$41$]}{[$42$]}$であり，そのときの$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$43$][$44$]}}{[$45$]}$となる．
(3)直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の$\displaystyle \frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}$倍である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$C_1:y=\log x+\log t$と曲線$C_2:y=ax^2$を考える．ただし$a$と$t$は正の実数である．曲線$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$を持ち，また，$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するものとする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け．
(2)$x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする．また，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め，また，$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

$[シ]$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

$n$を$100$以下の自然数とし，$n$の約数の個数を$f(n)$，空集合を$\phi$とする．

(1)$f(48)=[アイ]$であり，$f(n)=9$を満たす最小の自然数は$n=[ウエ]$である．$f(n)=5$を満たす$n$の個数は$[オ]$個であり，$f(n)=6$を満たす$n$の個数は$[カキ]$個である．
(2)$f(n)$の最大値は$[クケ]$である．したがって，$f(f(n))>4$を満たす最小の自然数は$n=[コサ]$となる．
(3)$f(n)=2$を満たす$100$以下の自然数$n$の集合を$A$，$100$以下の素数の集合を$B$とすると，$[シ]$が成り立つ．

$[シ]$の解答群
\mon[$①$] $A \in B$
\mon[$②$] $B \in A$
\mon[$③$] $A=B$
\mon[$④$] $A \subset B$かつ$A \neq B$
\mon[$⑤$] $B \subset A$かつ$A \neq B$
\mon[$⑥$] $A \cap B=\phi$
\mon[$④chi$] $A \cap B \neq \phi$かつ$A \neq A \cup B \neq B$

$4$点$\mathrm{A}(-\sqrt{3},\ \sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ -\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(-3,\ -3,\ 1)$，$\mathrm{D}$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$について考える．ただし，点$\mathrm{D}$の$z$座標は負の数であり，$|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|=|\overrightarrow{\mathrm{CD}}|=\sqrt{17}$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=[ア]$である．
(2)点$\mathrm{D}$の座標は$[イ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り，$z$軸に垂直な平面の方程式は$[ウ]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面上にあり，点$\mathrm{D}$との距離が最小となる点の位置ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと$[エ]$である．
(5)四面体$\mathrm{ABCD}$の体積は$[オ]$である．

空間内の$2$点$(-1,\ 3,\ -2)$，$(-3,\ 2,\ -1)$を通る直線$\ell$がある．$x$軸上の点$\mathrm{P}$と$\ell$上の点$\mathrm{Q}$との距離が最小になるときの$\mathrm{P}$の座標は$(-[$55$],\ 0,\ 0)$，$\mathrm{Q}$の座標は$\displaystyle \left(-[$56$],\ \frac{[$57$]}{[$58$]},\ \frac{[$59$]}{[$60$]} \right)$であり，その距離の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$61$]}}{[$62$]}$である．

次の問いに答えよ．ただし，$*$については$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{7})(\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{7})(-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{7})=[アイ]$
(2)関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+5$が，$x=-2$で極大値を，$x=1$で極小値をとるなら，
\[ a=\frac{[$*$ ウ]}{[エ]},\quad b=[$*$ オ] \]
である．
(3)座標平面上に原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{A}(3,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$があり，点$\mathrm{P}$は$t$を実数として，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}+(1-t) \overrightarrow{\mathrm{OB}} \]
を満たす．$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[カキ]}{[クケ]}$のときである．
このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角は${[コサ]}^\circ$である．
(4)$1$階，$2$階，$4$階，$5$階にだけ停止する荷物用のエレベーターで，$1$階にある$10 \, \mathrm{kg}$，$20 \, \mathrm{kg}$，$30 \, \mathrm{kg}$の$3$個の荷物の全てを上階に運ぶ．一つの階に運ばれる荷物が複数個や$0$個になることを認めると，荷物の運び方は$[シス]$通りである．$10 \, \mathrm{kg}$を$1$階分上げるごとに$1$単位の電力が必要であると仮定すると，$3$個の荷物を上げるために必要な電力の期待値は$[セソ]$単位である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{AC}=1$，$\mathrm{BC}=l$とする．$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり線分$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{ABC}$の面積を二等分するように引く．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{AQ}$の長さの積$\mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{A}$の大きさを$\alpha$とするとき，$\cos \alpha$を$l$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる線分$\mathrm{AP}$および線分$\mathrm{AQ}$の長さを求めよ．また，そのときの線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$は$\angle \mathrm{ABC}=\theta$，$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=a$とする（$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$の範囲にある定数とし，$a$は正の実数とする）．また，$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径を$r$とする．次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AC}$の長さを$a$と$\theta$を用いて表せ．
(2)$r$を$a$と$\theta$を用いて表せ．
(3)$r$が最小となるとき，$a$を$\theta$を用いて表せ．また，そのときの$r$の値を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}(x^3-3x^2-9x+3)$とする．

(1)関数$f(x)$は，$x=[テ]$で極大値$[ト]$をとり，$x=[ナ]$で極小値$[ニ]$をとる．
(2)$y=f(x)$のグラフと$y$軸との交点における接線の方程式は，$\displaystyle y=\frac{[ヌ]}{[ネ]}x+\frac{[ノ]}{[ハ]}$である．
(3)実数からなる集合
\[ A=\{x \;|\; f(x)>0 \},\quad B=\{x \;|\; x \geqq b\} \]
を考える．ただし，$b$は整数とする．

(i) $A \subset B$となる最大の整数$b$は$[ヒ]$である．
(ii) $B \subset A$となる最小の整数$b$は$[フ]$である．
(iii) $b \in A$であり，$B \subset A$とならない整数$b$は$[ヘ]$個ある．

$k$を定数として，$3$次方程式
\[ x^3-\frac{3}{2}x^2-6x-k=0 \cdots\cdots (*) \]
を考える．

(1)この方程式が，異なる$3$つの実数解をもつような$k$の値の範囲は
\[ -[ア][イ]<k< \frac{[ウ]}{[エ]} \cdots\cdots (**) \]
である．
(2)$k$が$(**)$の範囲にあるとき，方程式$(*)$の$3$つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$（ただし$\alpha<\beta<\gamma$）とおく．

(i) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha,\ \beta,\ \gamma$の取りうる値の範囲は，それぞれ
\[ -\frac{[オ]}{[カ]}<\alpha<-[キ],\quad -[ク]<\beta<[ケ],\quad [コ]<\gamma<\frac{[サ]}{[シ]} \]
である．
(ii) $k$が$(**)$の範囲を動くとき，$\alpha$と$\gamma$の積$\alpha\gamma$が最小となるのは
\[ k=-\frac{[ス][セ][ソ]}{[タ][チ]} \]
のときであって，$\alpha\gamma$の最小値は$\displaystyle -\frac{[ツ][テ][ト]}{[ナ][ニ]}$である．