次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 |x-a|(x+1) \, dx$を最小にする$a$の値は
\[ a=[$18$][$19$]+\frac{[$20$][$21$]}{[$22$][$23$]} \sqrt{[$24$][$25$]} \]
である．
(2)$f(a)$を$0 \leqq x \leqq 1$における$|x-a|(x+1)$の最大値とする．このとき$f(a)$を最小にする$a$の値は
\[ a=\frac{[$26$][$27$]}{[$28$][$29$]} \]
である．

$x$を整数とする．$\log_2 (x+1)+4 \log_4 (x-1)>0$を満たす最小の$x$の値を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，$a_1=2$と$a_{n+1}=3a_n-2$を満たしている（$n$は自然数）．$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$とする．$S_n>2014$をみたす最小の$n$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(t)=\int_0^\pi (x-t \sin x)^2 \, dx$とする（$t$は実数）．$f(t)$が最小となるときの$t$の値を求めよ．

$n$は自然数とする．数列$\{a_n\}$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=3 \\
a_n=\sum_{k=1}^{n-1} a_k \quad (n \geqq 2)
\end{array} \right. \]
と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_5$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき一般項$a_n$を求めよ．
(3)$a_n$が$10^{10}$を超える最小の$n$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

方程式$4^x-2^{-x}=5(2^x-1)$を満たす$x$のうち最大のものを$a$，最小のものを$b$とする．このとき$2^a$の値は$[　]$で，$4^a+4^b$の値は$[　]$である．

$y=(\log_3 3x)^2+\log_3 (9x)^3+\log_3 x+2$とする．$\log_3 x=t$とおいて$y$を$t$の式で表すと$[　]$となる．$y$が最小となる$x$の値を求めると，$x=[　]$である．

一般項が
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^n \right\} \]
で与えられた数列$\{a_n\}$を考える．

(1)この数列の初項$a_1$の値は$[ア]$，第$2$項$a_2$の値は$[イ]$である．
(2)この数列は，漸化式$a_{n+2}=a_{n+1}+[ウ]a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たす．
(3)この数列の第$7$項$a_7$の値は$[エオ]$である．
(4)この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．このとき
\[ a_{n+2}=[カ]+[キ]S_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．
(5)この数列には，$1$桁の素数$[ク]$の倍数は現れない．
(6)$(4)$で与えられた$S_n$が$10000$以上となるような最小の$n$の値は$[ケコ]$である．

次の各問に答えよ．

(1)折れ線$L:y=4 |x|-5 |x-2|+4 |x-3|$は
$x<0$のとき，$y=[アイ]x+[ウ]$
$0 \leqq x<2$のとき，$y=[エ]x+[オ]$
$2 \leqq x<3$のとき，$y=[カキ]x+[クケ]$
$3 \leqq x$のとき，$y=3x-2$
と表される．$L$と直線$y=2x+k$（$k$は定数）の共有点が$4$個となるような$k$の値の範囲は，$[コ]<k<[サ]$である．
(2)数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$a_1=3$，公差$4$の等差数列とすると，$a_{50}=[シスセ]$である．数列$\{b_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を初項$b_1=5$で，$b_{50}=299$をみたす等差数列とすると，$\{b_n\}$の公差は$[ソ]$である．
集合$A,\ B$を
\[ A=\{a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{50} \},\quad B=\{b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_{50} \} \]
と定める．共通部分$A \cap B$の要素のうち，最小のものは$[タチ]$であり，$A \cap B$の要素の個数は$[ツテ]$である．

以下の各問で，$[　]$にあてはまる数値または記号を求めよ．

(1)放物線$y=ax^2+bx+c (a>0)$が点$(0,\ 9)$を通るとき，
\[ c=[ア] \]
である．さらに，この放物線が点$(3,\ 3)$を通り，放物線の頂点が直線$16x-4y=29$上にあるとき，
\[ (a,\ b)=([イ],\ -[ウ]) \ \text{または} \ \left( \frac{[エ][オ]}{[カ]},\ -\frac{[キ][ク]}{3} \right) \]
である．
(2)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{BAC}={90}^\circ$である$\triangle \mathrm{ABC}$の内接円の半径は
\[ [ア]-\sqrt{2} \]
である．また，この内接円に外接し，辺$\mathrm{AB}$，辺$\mathrm{AC}$に接する円の半径は
\[ [イ][ウ]-[エ] \sqrt{2} \]
である．
(3)初項が$a$（$a$は自然数），公差が$4$の等差数列$\{a_n\}$と，$a_n$を$9$で割った余りの数列$\{b_n\}$があり，$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n b_k$とする．$a=1$とするとき，$S_n>2014$となる最小の$n$は
\[ [ア][イ][ウ] \]
であり，
\[ S_{[ア][イ][ウ]}=20 [エ][オ] \]
である．また，$S_n$がちょうど$2014$となる$a$の最小値は
\[ [カ] \]
である．
(4)関数$\displaystyle f(\theta)=2(\sin \theta+\cos \theta)^3-9(\sin \theta+\cos \theta) \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right)$は$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，
\[ f \left( \frac{\pi}{6} \right)=-[ア]-[イ] \sqrt{[ウ]} \]
となる．また，
$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{[エ][オ]}$のとき，最小値$-[カ] \sqrt{[キ]}$

をとり，

$\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{[ク]}$のとき，最大値$[ケ]$

をとる．