\begin{mawarikomi}{55mm}{
（図は省略）
}
座標平面において媒介変数表示された曲線
\[ x=\sin t,\quad y=\sin 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
を考え，この曲線で囲まれた図形を$D$とする．右図はこの曲線の概形を表す．

(1)この曲線上の点$(x,\ y)$の$y$座標が最大になるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ア]}$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[イ]}}{[ウ]},\ [エ] \right)$であり，$y$座標が最小になるのは$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のときで，その点の直交座標は$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]},\ [ケコ] \right)$である．また，この曲線が原点以外の点で$x$軸と交わるのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[サ]}$のときで，その交点の$x$座標は$[シ]$である．

(2)$\displaystyle \lim_{t \to +0} \frac{dy}{dx}=[ス]$であり，$\displaystyle \lim_{t \to \pi-0} \frac{dy}{dx}=[セソ]$である．

(3)図形$D$の面積は$\displaystyle \frac{[タ]}{[チ]}$である．
(4)図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積は$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]} \pi$である．

\end{mawarikomi}

$xy$平面上に直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$がある．自然数$n$に対して，この平面上に，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$を次のように定める．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle \mathrm{A}_1 \left( \frac{1}{3},\ 0 \right) \\
\text{正方形の頂点は時計回りに$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{B}_n,\ \mathrm{C}_n,\ \mathrm{D}_n$とする．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n,\ \mathrm{D}_n$は$x$軸上にあり，頂点$\mathrm{B}_n$は直線$\ell$上にある．} \\
\text{頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標は頂点$\mathrm{D}_n$の$x$座標より小さい．} \\
\text{頂点$\mathrm{D}_n$を頂点$\mathrm{A}_{n+1}$とする．}
\end{array} \right. \]
頂点$\mathrm{A}_n$の$x$座標を$x_n$，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の面積を$S_n$とする．

(1)正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の$1$辺の長さは$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}x_n$である．
また，正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ウ]}{[エ]}x_n,\ \frac{[オ]}{[カ]}x_n \right)$であるから，すべての自然数$n$に対して正方形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の対角線の交点は直線$\displaystyle y=\frac{[キ]}{[ク]}x$上にある．
(2)$x_{n+1}$を$x_n$で表すと$\displaystyle x_{n+1}=\frac{[ケ]}{[コ]}x_n$である．よって$\displaystyle x_n=\frac{3^{\mkakko{サ}}}{2^{\mkakko{シ}}}$である．ただし，$[サ]$，$[シ]$には，次の$\nagamaruichi$～$\nagamaruroku$の中から最も適切なものをそれぞれ一つ選ぶこと．
\[ \nagamaruichi -n-1 \qquad \nagamaruni -n \qquad \nagamarusan n-2 \qquad \nagamarushi n-1 \qquad \nagamarugo n \qquad \nagamaruroku n+1 \]
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n S_k$とおく．$T_n>1$となる最小の$n$は$[ス]$である．

次の各問の$[　]$にあてはまる数を入れなさい．

(1)$2015$を素因数分解したとき，最も大きい因子は$[ア]$である．
(2)一般項が$a_{n+1}=2a_n+a_{n-1}$（ただし，$a_0=1$，$a_1=1$）で表される数列の第$5$項は$[イ]$である．
(3)$\cos 2x-3 \cos x-1=0 (0 \leqq x<\pi)$の解は$[ウ]$である．
(4)$\log_2 (x-2)=\log_4 (-2x+a)$が解を持つ最小の整数$a$は$[エ]$である．

自然数$n$に対し，次の問いに答えよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．

(1)$9^n$が$n$桁の整数となる最大の$n$を求めよ．
(2)${1.2}^n \geqq 10000$を満たす最小の$n$を求めよ．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\theta \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とする．さらに，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$(1-t):t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$である．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の$\displaystyle \frac{1}{5}$となる$t$の値を求めよ．
(4)$0<\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})<|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$が成り立つことを示せ．
(5)線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となる$t$の値を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．

等差数列$\{a_n\}$が，$a_{15}+a_{23}=-240$，$a_{19}+a_{20}+a_{21}=-318$を満たしている．このとき，公差は$[ウエ]$であり，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$は$n=[オカ]$のとき最小となる．

次のデータは，ある高校$3$年生$9$人の$100$点満点の試験の結果である．
\[ 65,\ 83,\ 64,\ 69,\ 89,\ 68,\ 77,\ 70,\ 81 \]
データを順に，$x_1,\ x_2,\ x_3,\ \cdots,\ x_9$と表す．このとき，$\displaystyle \sum_{i=1}^9 (x_i-\theta)^2$を最小にする$\theta$の値は$[スセ]$である．また，$\displaystyle \sum_{i=1}^9 |x_i-\theta|$を最小にする$\theta$の値は$[ソタ]$である．

点$\mathrm{A}(3,\ 4)$，$\mathrm{B}(8,\ 6)$と，$x$軸上を動く点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$の方程式は，$y=[アイ]x+[ウエ]$である．
(2)点$\mathrm{P}$を頂点として，点$\mathrm{A}$を通る放物線$C$の方程式は，$y=[オ]x^2-[カキ]x+[クケ]$である．
(3)$\ell$と$C$で囲まれる図形の面積は，$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

以下の各問いに答えよ．

(1)$108$の正の約数について，その個数と全ての約数の総和を求めよ．
(2)ある試行における事象$A,\ B$に対して，$\displaystyle P_A(B)=\frac{1}{2}$，$\displaystyle P_B(A)=\frac{3}{5}$，$\displaystyle P(A \cap B)=\frac{1}{5}$であるとき，$P(A)$，$P(B)$をそれぞれ求めよ．
(3)$12$名の高校生を$6$名，$3$名，$3$名の$3$つのグループに分ける方法は何通りあるか答えよ．
(4)$5$で割ると$3$余り，$7$で割ると$6$余るような自然数のうち，$4$桁で最小のものを求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)実数$a,\ b$に関する条件「$a>2$かつ$b \leqq 1$」の否定であるものを次のア～エのうちからひとつ選び，その記号を$[$\mathrm{A]$}$に書きなさい．ただし，該当するものがない場合は「該当なし」と書きなさい．

ア：「$a>2$または$b \leqq 1$」 \qquad イ：「$a \leqq 2$または$b>1$」
ウ：「$a<2$または$b \geqq 1$」 \qquad エ：「$a \leqq 2$かつ$b>1$」

(2)$x$についての整式$P(x)=x^3+kx^2+x+2$を$x-3$で割った余りが$k$となるような定数$k$の値は$k=[$\mathrm{B]$}$である．
(3)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$で，$\tan \alpha=3$のとき，$\displaystyle \sin \left( 2 \alpha +\frac{\pi}{3} \right)$の値を$c$とすると，$c=[$\mathrm{C]$}$である．
(4)正の実数$x,\ y$が，$x^2+4y=1$を満たすとき，$2 \log_2 x+\log_2 y$のとり得る値の最大値を$d$とすると，$d=[$\mathrm{D]$}$である．
(5)$t$を実数とする．平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が，$|\overrightarrow{a}|=7$，$|\overrightarrow{b}|=6$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=9$であるとき，$|(1-2t) \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$を最小にする$t$の値を$[あ]$で求めなさい．