$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．

$a>0$とし，$\displaystyle I=\int_0^1 |ax-x \log (x+1)| \, dx$とする．

(1)不定積分$\displaystyle \int \{ax-x \log (x+1)\} \, dx$を求めよ．
(2)$ax-x \log (x+1)=0$を満たす$x$を求めよ．
(3)$I$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$I$を最小にする$a$の値を求めよ．

$3$辺の長さが$2,\ 3,\ 4$の三角形について次の問いに答えよ．

(1)内角が最大の頂点を$\mathrm{A}$，最小の頂点を$\mathrm{B}$とするとき，$\cos \angle \mathrm{A}$，$\cos \angle \mathrm{B}$を求めよ．
(2)残りの頂点を$\mathrm{C}$とする．また$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点で，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}$をみたすとする．このとき，$\mathrm{AQ}^2+\mathrm{BR}^2+\mathrm{CP}^2$の最大値と最小値を求めよ．

$20$枚のカードに$1$から$20$までの自然数が$1$つずつ書かれている．この中からカードを$3$枚同時に取り出すとき，次の問に答えよ．

(1)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の積が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(2)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の和が$3$の倍数となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードに書かれた$3$つの自然数の最小公倍数が$10$以下になる確率を求めよ．ただし，$2$つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のものを最小公倍数という．

$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．

$f(x)=\log x (x>0)$とし，曲線$C_1:y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$と曲線$C_2:y={(x-\sqrt{2})}^2$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を最小にする$t$の値を求めよ．ただし，そのときの$S$の値は求めなくてよい．

$c$を実数として，次の条件（イ），（ロ）によって定められる数列$\{a_n\}$がある．

（イ） $a_1=0$
（ロ） $n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し
\[ a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll}
a_n+c & (a_n<5 \text{のとき}) \\
a_n-5 & (5 \leqq a_n<10 \text{のとき}) \\
2a_n-c+1 & (a_n \geqq 10 \text{のとき})
\end{array} \right. \]

次の問いに答えよ．

(1)$c=5$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(2)$c=10$のとき，$\{a_n\}$を求めよ．
(3)$c<5$のとき，$a_n<10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を示せ．
(4)$\displaystyle c=\frac{16}{3}$のとき，$a_n>1000$をみたす最小の$n$を求めよ．

正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a_{100}$の値を求めよ．また，$a_n=a_{100}$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(4)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

正の整数$n$について，$\sqrt{2n-1}$以下の最大の整数を$a_n$と定める．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)正の整数$m$に対して，$a_n=m$となる$n$はいくつあるか求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の初項から第$100$項までの和を求めよ．
(3)$\displaystyle T_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k}$とする．$T_{12}$の値を求めよ．また，$T_n>10$をみたす最小の$n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0<x<2\pi$の範囲において，方程式$\sin 5x=\sin x$の解をすべて求めよ．
(2)$(1)$で求めた解のうちで最小のものを$a$とする．曲線$y=\sin 5x-\sin x (0 \leqq x \leqq a)$と$x$軸で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．