次の$2$つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ．

\mon[$(\mathrm{a})$] 少なくとも$2$つの内角は${90}^\circ$である．
\mon[$(\mathrm{b})$] 半径$1$の円が内接する．ただし，円が四角形に内接するとは，円が四角形の$4$つの辺すべてに接することをいう．

$n$を$2$以上の自然数とし，$1$から$n$までの自然数$k$に対して，番号$k$をつけたカードをそれぞれ$k$枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から$2$枚のカードを同時に引くとき，次の問いに答えよ．

(1)用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2)引いたカード$2$枚の番号が両方とも$k$である確率を$n$と$k$の式で表せ．
(3)引いたカード$2$枚の番号が一致する確率を$n$の式で表せ．
(4)引いたカード$2$枚の番号が異なっている確率を$p_n$とする．不等式$p_n \geqq 0.9$を満たす最小の自然数$n$の値を求めよ．

$3$辺の長さが$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を，$\mathrm{AP}=\mathrm{BQ}=\mathrm{CR}=x$となるようにとる．ただし，$0<x<3$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{ABC}$の値を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を$x$の式で表せ．
(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積が最小となるときの$x$の値を求めよ．

$a$と$b$を正の実数とする．$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=a$，$\mathrm{CX}_1=b$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$，$a$，$b$を用いて表せ．
(3)$b=8a$のとき，$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてよい．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{B}$と$\angle \mathrm{C}$は鋭角とする．点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_1$とし，線分$\mathrm{AX}_1$の長さを$1$とする．また，$\mathrm{BX}_1=1$，$\mathrm{CX}_1=8$とする．各$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して以下の操作を行う．

辺$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{X}_n$を通り辺$\mathrm{AC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Y}_n$とする．また，点$\mathrm{Y}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に平行な直線を引き，辺$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{Z}_n$とする．点$\mathrm{Z}_n$を通り辺$\mathrm{BC}$に直交する直線を引き，辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{X}_{n+1}$とする．

線分$\mathrm{Z}_n \mathrm{X}_{n+1}$の長さを$l_n$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_{n+1}$を$l_n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle l_n>\frac{1}{2}$となる最小の奇数$n$を求めよ．必要ならば，$3.169<\log_2 9<3.17$を用いてもよい．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}a, -a \right)$を頂点とし，点$(a,\ 0)$を通る放物線である．ただし，$a \neq 0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$2$次関数$y=f(x)$を$a$を用いて表せ．
(2)$a>0$とするとき，放物線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた部分の面積$S(a)$を，積分を計算することによって求めよ．
(3)$S(2^n)>7^{10}$となる最小の自然数$n$を求めよ．必要であれば，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$，$\log_{10}7=0.8451$を用いてもよい．

$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．

$k$を実数とする．関数$y=|x(x-1)|$のグラフと直線$y=kx$が異なる$3$点を共有している．これらで囲まれた$2$つの部分の面積の和を$S$とする．

(1)$k$の値の範囲を求めなさい．
(2)$S$を$k$の式で表しなさい．
(3)$S$が最小になるときの$k$の値を求めなさい．