「最小値」について
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国立 大分大学 2011年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)不定積分$\displaystyle \int t^2e^t \, dt$を求めなさい．
(2)$x \geqq 0$で定義された関数
\[ F(x) = -x+\int_0^x (xt-t^2)e^t \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
(1)不定積分$\displaystyle \int t^2e^t \, dt$を求めなさい．
(2)$x \geqq 0$で定義された関数
\[ F(x) = -x+\int_0^x (xt-t^2)e^t \, dt \]
の最小値とそのときの$x$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2011年 第4問直線$\ell_1:y=mx+3 \ (m>0)$が，点A$(5,\ 3)$を中心とする円$C_1$に接している．その接点をPとする．直線$\ell_1$と$y$軸との交点をQ，2点A，Pを通る直線$\ell_2$と$x$軸との交点をRとする．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
(1)円$C_1$の半径$r$を$m$を用いて表しなさい．
(2)円$C_1$が$x$軸と異なる2点で交わるような$m$の値の範囲を求めなさい．
(3)線分QRの中点Sの座標を求めなさい．
(4)3点P，Q，Rを通る円$C_2$の中心と円$C_1$の中心との距離を$d$とする．$d$の最小値とそのときの$m$の値を求めなさい．
国立 琉球大学 2011年 第2問中心が$(2,\ 0,\ 1)$，半径が$2\sqrt{5}$の球面が$yz$平面と交わってできる円を$C$とする．次の問いに答えよ．
(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)点Pは$C$上を動き，点Qは$xy$平面上の直線$x=y$上を動くとする．線分PQの長さの最小値，およびそのときのP，Qの座標を求めよ．
(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)点Pは$C$上を動き，点Qは$xy$平面上の直線$x=y$上を動くとする．線分PQの長さの最小値，およびそのときのP，Qの座標を求めよ．
国立 琉球大学 2011年 第4問次の問いに答えよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin 2x \, dx$を求めよ．
(2)$m,\ n$が自然数のとき，定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．
(3)$a,\ b$を実数とする．$a,\ b$の値を変化させたときの定積分$\displaystyle I=\int_{-\pi}^\pi (x-a \sin x-b \sin 2x)^2 \, dx$の最小値，およびそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
(1)定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi x \sin 2x \, dx$を求めよ．
(2)$m,\ n$が自然数のとき，定積分$\displaystyle \int_{-\pi}^\pi \sin mx \sin nx \, dx$を求めよ．
(3)$a,\ b$を実数とする．$a,\ b$の値を変化させたときの定積分$\displaystyle I=\int_{-\pi}^\pi (x-a \sin x-b \sin 2x)^2 \, dx$の最小値，およびそのときの$a,\ b$の値を求めよ．
国立 福岡教育大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．
(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．
(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．
(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．
国立 岐阜大学 2011年 第2問連立不等式$y \geqq |3x-2|,\ x-4y+8 \geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．
国立 岐阜大学 2011年 第2問連立不等式$y \geqq |3x-2|,\ x-4y+8 \geqq 0$の表す領域を$D$とする．以下の問に答えよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．
(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$x^2+2x+y^2$の最小値と，それを与える点$(x,\ y)$を求めよ．
国立 電気通信大学 2011年 第1問$xy$平面上の曲線$C:y=\log x$に対して，以下の問いに答えよ．ただし，$\log x$は$e$を底とする自然対数とする．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．
(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)接線$\ell$と$x$軸の交点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0$を$t$を用いて表せ．
(3)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる部分の面積を$S(t)$とする．$S(t)$を$t$を用いて表せ．
(4)$t>1$のとき，曲線$C$と$x$軸および接線$\ell$とで囲まれる部分の面積を$T(t)$とする．$T(t)$を$t$を用いて表せ．
(5)$1<t \leqq e^3$の範囲において，$f(t)=T(t)-S(t)$とおく．このとき，関数$f(t)$の増減を調べ，$f(t)$の最大値および最小値を求めよ．ただし，$2<e<3$であることは既知としてよい．
国立 帯広畜産大学 2011年 第1問自然数$n$について，$\{a_n\}$は初項$a$，公差$d$の等差数列であり，$\{b_n\}$は初項$b$，公比$r$の等比数列である．数列$\{a_n\}$の一般項を$a_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_a$とする．また，数列$\{b_n\}$の一般項を$b_n$で表し，その初項から第$n$項までの和を$S_b$とする．次の各問に解答しなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
(1)$d=2a,\ a \neq 0$とする．
(i) $d$と$n$を用いて$a_n$を表しなさい．また，$a$と$n$を用いて$S_a$を表しなさい．
(ii) 不等式$6a_n<a_{n+1}+27d$および$2a_n>a_{n+1}$を満たすすべての$n$の値を求めなさい．
(2)$r=2b+1,\ b \neq 0$とする．
(i) $b$と$n$を用いて$b_n$を表しなさい．また，$r$と$n$を用いて$S_b$を表しなさい．
(ii) $\displaystyle \log_2 b_n > \log_2 b_{n+1}+\frac{1}{2}$であるとき，$r$の値の範囲を求めなさい．
(3)$A$と$B$はいずれも$2 \times 2$行列であり，それぞれ$A=\left( \begin{array}{cc}
d & 2d-1 \\
1 & d
\end{array} \right),\ B=A^2$と定義される．また，行列$B$の$(1,\ 1)$成分を$g$とし，行列$A$が与えられたときの$a$と$b$の関係は次の連立1次方程式を満たすものとする．
\[ A \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
-9 \\
1
\end{array} \right) \]
(i) $d$を用いて$g$を表しなさい．また，$g$が最小値をとるときの$d$の値を求めなさい．
(ii) $g$が最小値をとるとき，$A$の逆行列$A^{-1}$を求め，さらに$a$と$b$の値を求めなさい．また，$r \neq 1,\ r>0,\ n=3$および$S_a=2S_b$であるとき，$S_a$と$r$の値を求めなさい．
国立 新潟大学 2011年 第4問関数
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．
\[ f(t)=\left\{
\begin{array}{l}
t \qquad\qquad (0 \leqq t \leqq \pi) \\
2\pi-t \quad \, (\pi<t \leqq 2\pi)
\end{array}
\right. \]
に対して，次のように2つの関数$g(x),\ h(x)$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$で定義する．
\[ g(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \cos (t+x) \, dt,\quad h(x)=\int_0^{2\pi}f(t) \sin (t+x) \, dt \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数$g(x),\ h(x)$を求めよ．
(2)$x$が$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，関数$y=g(x)+h(x)$の最大値と最小値を求めよ．