「最小値」について
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国立 埼玉大学 2011年 第3問$a$を$1$より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．
(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．
(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．
国立 大阪大学 2011年 第5問正数$r$に対して，$a_1=0,\ a_2=r$とおき，数列$\{a_n\}$を次の漸化式で定める．
\[ a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{r}{2}$，裏がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{1}{2r}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3)数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4)$r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．
\[ a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{r}{2}$，裏がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{1}{2r}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3)数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4)$r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．
国立 弘前大学 2011年 第4問細長い長方形の紙があり，短い方の辺の長さが$a$で長い方が$9a$であったとする．下図のように，この長方形の1つの角(かど)を反対側の長い方の辺に接するように折る．図に示した2つの三角形A，Bについて，次の問いに答えよ．
(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
(1)三角形Aの面積の最大値を求めよ．
(2)三角形Bの面積の最小値を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
国立 金沢大学 2011年 第3問座標平面上に$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(-q,\ p)$，$\mathrm{C}(-p,\ -q)$，$\mathrm{D}(q,\ -p)$を頂点とする正方形がある．ただし，$p>0,\ q>0,\ p^2+q^2=1$とする．また，直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$が直線$x+y=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{E}(r,\ s)$，$\mathrm{F}(t,\ u)$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4)$st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AD}$の方程式を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$r,\ s,\ t,\ u$を$p,\ q$を用いて表せ．
(3)$k= p+ q$とおくとき，$pq$を$k$の式で表せ．また，$k \leqq \sqrt{2}$を示せ．
(4)$st- ru$を$k$の式で表せ．また，$st -ru$の最小値を求めよ．
（図は省略）
国立 東京工業大学 2011年 第2問実数$x$に対して
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} | \cos t - x \sin 2t | \, dt \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
\[ f(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} | \cos t - x \sin 2t | \, dt \]
とおく．
(1)関数$f(x)$の最小値を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第5問$xy$平面上に直線$\ell$がある．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．
次の問いに答えよ．
(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．
次の問いに答えよ．
(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．
国立 筑波大学 2011年 第6問$d$を正の定数とする．2点A$(-d,\ 0)$，B$(d,\ 0)$からの距離の和が$4d$である点Pの軌跡として定まる楕円$E$を考える．点A，点B，原点Oから楕円$E$上の点Pまでの距離をそれぞれAP，BP，OPと書く．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)楕円$E$の長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)$\text{AP}^2+\text{BP}^2$および$\text{AP} \cdot \text{BP}$を，OPと$d$を用いて表せ．
(3)点Pが楕円$E$全体を動くとき，$\text{AP}^3+\text{BP}^3$の最大値と最小値を$d$を用いて表せ．
(1)楕円$E$の長軸と短軸の長さを求めよ．
(2)$\text{AP}^2+\text{BP}^2$および$\text{AP} \cdot \text{BP}$を，OPと$d$を用いて表せ．
(3)点Pが楕円$E$全体を動くとき，$\text{AP}^3+\text{BP}^3$の最大値と最小値を$d$を用いて表せ．
国立 滋賀大学 2011年 第2問$\displaystyle f(x)=\int_1^x (t^2-6t+8) \, dt$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 5$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_{x}^{x+3} (t^2-6t+8) \, dt=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(1)$f(x)=0$を満たす$x$の値を求めよ．
(2)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 5$における最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)$\displaystyle \int_{x}^{x+3} (t^2-6t+8) \, dt=0$を満たす$x$の値を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．
(1)$x=\sqrt{3\sqrt{2}+4},\ y=\sqrt{3\sqrt{2}-4}$のとき，$\displaystyle \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$の値を求めよ．
(2)関数$f(x)=x^2+ax-2a+6$の$x \geqq 0$における最小値が1であるとき，$a$の値を求めよ．
(3)三角形ABCの辺ABを$2:1$に内分する点をD，辺ACを$3:5$に内分する点をEとする．4点B，C，E，Dが同一円周上にあるとき，辺ABと辺ACの長さの比$\text{AB}:\text{AC}$を求めよ．