座標空間において，点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を$3$つの頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面上の点と原点$\mathrm{O}$との距離の最小値を求めよ．

不等式$a \cos^2 x+8 \cos x+1 \geqq 0$が$x$の値によらず常に成り立つような$a$の最小値を求めよ．

$xy=1000$，$x \geqq 10$，$\displaystyle y \geqq \frac{1}{10}$とする．

(1)$\log_{10}x$は，$x=\kakkofive{ア}{イ}{ウ}{エ}{オ}$のとき最大値$[カ]$をとる．
(2)$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$は
\[ x=[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ]},\quad y=[サ][シ] \sqrt{[ス][セ]} \]
のときに最大値$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$をとり，
\[ x=\kakkofive{チ}{ツ}{テ}{ト}{ナ},\quad y=\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \]
のときに最小値$[ノ][ハ]$をとる．

$0$以上の実数$t$に対し，$F(t)=\displaystyle\int_0^1 |x^2-t^2| \, dx$とする．次の問いに答えよ．

(1)$F(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t \geqq 0$において，関数$F(t)$が最小値をとるときの$t$の値を求めよ．

実数$\theta$に対し，座標空間の2点A$(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0)$，B$(0,\ \sin 2\theta,\ \cos 2\theta)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)点A，Bと原点Oの3点は同一直線上にないことを示せ．
(2)三角形OABの面積$S$を$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が実数全体を動くとき，(2)で求めた$S$の最大値と最小値を求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

$t$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)正の実数$x$に対して定義された関数$g(x) = e^x x^{-t}$について，$g(x)$の最小値を$t$を用いて表せ．
(2)すべての正の実数$x$に対して$e^x > x^t$が成り立つための必要十分条件は，$t<e$であることを示せ．

$1$個のさいころを$5$回振る試行を行うとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$3$の倍数の目がそれ以外の目より$1$回だけ多く出る確率を求めなさい．
(2)$3$の倍数の目がそれ以外の目より$2$回以上多く出る確率を求めなさい．
(3)$3$の倍数の目が出る回数を$x$とし，それ以外の目が出る回数を$y$とする．$x^2+y^2$が最小値をとる確率を求めなさい．

楕円$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0,\ b>0)$上の点P$(x_0,\ y_0) (0 < x_0 < a,\ y_0>0)$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれA，Bとする．以下の問いに答えなさい．

(1)$\displaystyle \frac{\ x_0^2 \ }{a^2}=t$とおくとき，線分ABの長さ$\overline{AB}$を$a,\ b,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$0<x_0<a$における$\overline{AB}$の最小値を求めなさい．また，そのときのPの座標を求めなさい．

次の各問に答えよ．

(1)$0<x<\pi$において，方程式$\sin x -x \cos x-1=0$はただ1つの実数解$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$をもつことを証明せよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\frac{x+\cos x}{\sin x}$の$0<x<\pi$における最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(3)$a$を定数とする．方程式$x+\cos x-a \sin x=0$の$0<x<\pi$における異なる実数解の個数を求めよ．