関数$f(x)$が，すべての実数$x$に対して$f(x)=2x^2-14x+\int_0^3 f(x) \, dx$をみたしているとき

(1)$\displaystyle \int_0^3 f(x) \, dx=[ア]$である．
(2)方程式$f(x)=0$の解$x_1,\ x_2 (x_1<x_2)$の値は，$x_1=[イ]$，$x_2=[ウ]$である．
(3)$a$を$a \geqq 0$をみたす実数とし，区間$a \leqq x \leqq a+1$における$f(x)$の最小値と最大値を，$a$の関数として，それぞれ，$m(a)$，$M(a)$とする．このとき$m(a)$が一定値となる$a$の区間は$[エ] \leqq a \leqq [オ]$であり，この区間で$m(a)=[カ]$である．また，$M(a) \leqq 6$をみたす$a$の区間は$[キ] \leqq a \leqq [ク]$である．

$a$は正の実数で，点$\mathrm{A}(0,\ a)$，点$\mathrm{P}(-2,\ 0)$，点$\mathrm{Q}(2,\ 0)$を頂点とする三角形を考える．この三角形の外接円の中心座標は$[$5$]$，半径は$[$6$]$であり，$a=[$7$]$のとき，外接円の半径は最小値$[$8$]$をとる．

次の問に答えよ．

(1)$xy$平面上の円$x^2+y^2=1$上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$と$\mathrm{A}(-1,\ 0)$を考える．ただし，$-\pi<\theta<\pi$とする．直線$\mathrm{AP}$の傾きを$t$としたとき，$\cos \theta$と$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$-\pi<\theta \leqq \pi$とする．$\theta$の関数$\displaystyle f(\theta)=\frac{1+\cos \theta}{3 \cos \theta-2 \sin \theta+5}$の最大値と最小値，またそのときの$\theta$の値を求めよ．

$2$次関数のグラフが$2$点$(-1,\ 6)$，$(5,\ 6)$を通るとき，軸は直線$x=[$1$]$である．さらにグラフが点$(1,\ -2)$を通るとき，この$2$次関数の最小値は$[$2$]$である．

$x$の$2$次関数$y=ax^2+4ax+b (a>0)$について次の各問に答えよ．

(1)この関数のグラフの頂点の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)この関数の値が$-3 \leqq x \leqq 2$において，最大になるときと最小になるときの$x$の値をそれぞれ求めよ．
(3)$-3 \leqq x \leqq 2$におけるこの関数の最大値が$3$，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，この$2$次関数のグラフの$x$軸および$y$軸との共有点を求めて，グラフを描け．

関数$f(x)$は，

$\displaystyle (ⅰ) f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle (ⅱ) \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t (t>0)$

を満たすものとする．このとき，以下の設問に答えなさい．

(1)この条件を満たす関数$f(x)$は
\[ f(x)=[$1$] \]
または
\[ f(x)=[$2$] \]
である．
(2)曲線$y=[$1$]$および曲線$y=[$2$]$の交点の座標をすべて求めなさい．ただし，$[$1$]$，$[$2$]$は$(1)$で求めた関数とする．
(3)点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=[$1$]$および$y=[$2$]$で囲まれた範囲（境界を含む）を動くとき，$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい．

$\mathrm{A}(4,\ 3)$，$\mathrm{B}(8,\ 6)$，$\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$x,\ y$で表せ．
(2)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$の最小値を求めよ．
(3)$\mathrm{M}(0,\ 1)$，$\mathrm{N}(2,\ 7)$とする．点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{MN}$上を動くとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BP}}$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3x^2+6x-2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする．

(i) $\displaystyle \alpha^2\beta+\alpha\beta^2=\frac{[ア]}{[イ]}$である．

(ii) $\displaystyle (\alpha-\beta)^2=\frac{[ウエ]}{[オ]}$である．

(iii) $\alpha^3+\beta^3=[カキク]$である．

(2)平面上の$3$点$(-1,\ 9)$，$(0,\ 3)$，$(2,\ 3)$を通る放物線の方程式は$y=[ケ]x^2-[コ]x+[サ]$である．
(3)$\displaystyle f(x)=(\log_3 27x)(\log_3 \frac{x}{3})=(\log_3 x)^2+[シ] \log_3 x-[ス]$である．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[セ]}{[ソ]}$で最小値$[タチ]$をとる．
(4)$7$個の小石を$3$人の子供$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に配る．このとき，$1$個ももらえない子供はいないとする．また，小石は互いに区別されないものとする．

(i) 小石の配り方は$[ツテ]$通りである．
(ii) 子供$\mathrm{A}$にちょうど$3$個の小石が配られる確率は$\displaystyle \frac{[ト]}{[ナ]}$である．

以下の問の$[$50$]$～$[$63$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

関数$\displaystyle y=-4a \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \sin 2\theta-4 \cos 2\theta-6a \sin \theta+2a+10$がある．

(1)$3 \sin \theta-\cos \theta=t$とおくと，$y=t^2-[$50$]at+[$51$]$である．
(2)$a$の値の範囲が$-5<a<5$のとき，この関数の最大値$y_{\max}$のとりうる値の範囲は
\[ [$52$][$53$] \leqq y_{\max}<[$54$][$55$]+[$56$][$57$] \sqrt{[$58$][$59$]} \]
である．
(3)この関数の最小値が$-15$であるとき$\displaystyle a=\pm \frac{[$60$] \sqrt{[$61$][$62$]}}{[$63$]}$である．

実数$m$について，定積分$\displaystyle I(m)=\int_0^1 |x^2-mx| \, dx$を考える．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$I(m)$を求めよ．
(2)$I(m)$の最小値，およびそのときの$m$の値を求めよ．