次の問題は，生命科学部生命機能学科植物医科学専修を志望する受験生のみ解答せよ．
$t$を正の定数とする．曲線$y=x^3-x$を$C$，$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^3-t)$における接線を$\ell$とする．$\ell$の方程式は
\[ y=\left( [ア] t^2-[イ] \right) x-[ウ] t^3 \]
である．
$C$と$\ell$の，$\mathrm{P}$以外の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[エオ] t$である．
$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$m$とすると，$m$の方程式は
\[ y=\left( [カキ] t^2-[イ] \right)x+[クケ] t^3 \]
である．
$C$と$m$の，$\mathrm{Q}$以外の共有点を$\mathrm{R}$とすると，$\mathrm{R}$の$x$座標は$[コ] t$であり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}=18 \left( [サシ] t^6-[スセ] t^4+[ソ] t^2 \right) \]
となる．ここで，
\[ f(t)=\frac{\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}}}{18t^6} \]
とおくと，$\displaystyle t=\frac{[タ] \sqrt{[チツ]}}{[チツ]}$のとき，$f(t)$は最小値$\displaystyle \frac{[テト]}{[ナ]}$をとる．

実数$x,\ y$が$x^2+y^2-4y+2=0$を満たすとする．$\displaystyle k=\frac{x}{y}$，$\displaystyle z=\frac{x^2+4xy+9y^2}{xy+2y^2}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$z$を$k$の式で表せ．
(3)$z$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．
(4)$z$の最小値を与える$x$の値は$2$つある．それらを$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$を求めよ．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$xy$平面における放物線
\[ y=x^2-4x+1 \]
は放物線$y=x^2$を$x$軸方向に$[ア]$，$y$軸方向に$[イ]$だけ平行移動することによって得られる．関数
\[ y=x^2-4x+1 \quad (a \leqq x \leqq a+1) \]
の最小値を$m$とおく．ただし，$a$は実数である．$a<1$の場合は$m=[ウ]$であり，$1 \leqq a \leqq 2$の場合は$m=[エ]$であり，$a>2$の場合は$m=[オ]$である．
(2)${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数を求めよう．二項定理により
\[ \begin{array}{lll}
{(2x^2-xy-3y^2)}^5 &=& \displaystyle\left\{ (2x^2-xy)-3y^2 \right\}^5 \\
&=& (2x^2-xy)^5+5(2x^2-xy)^4(-3y^2) \\
& & +[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2+10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3 \\
& & +5(2x^2-xy)(-3y^2)^4 +(-3y^2)^5
\end{array} \]
が成り立つ．$(2x^2-xy)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[キ]$であり，$5(2x^2-xy)^4(-3y^2)$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ク]$である．さらに，$[カ](2x^2-xy)^3(-3y^2)^2$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[ケ]$である．また，$10(2x^2-xy)^2(-3y^2)^3+5(2x^2-xy)(-3y^2)^4+(-3y^2)^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$0$である．よって${(2x^2-xy-3y^2)}^5$の展開式における$x^5y^5$の係数は$[コ]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式等を求めて記入せよ．

(1)関数$\displaystyle f(x)=\cos^4 x-\sin^4 x+\frac{1}{2} \sin x \sin 2x+3 \cos x (0 \leqq x \leqq \pi)$とする．$t=\cos x$とおき$f(x)$を$t$の式で表すと，$f(x)=[　]$である．$f(x)$は$\cos x=[　]$のとき最大値$[　]$をとり，$\cos x=[　]$のとき最小値$[　]$をとる．
(2)半円$C_1:x^2+y^2=2 (y \geqq 0)$と放物線$C_2:y=ax^2+1-a (a<-1)$とで囲まれた図形の面積$S$を求めたい．

(i) $C_1$と$C_2$の交点を求めると$[　]$である．
(ii) $C_1$と$C_2$のグラフおよび$(1)$で求めた交点を図示せよ．
(iii) 面積$S=[　]$である．

次の各問に答えよ．

(1)$A=2x^2-xy-3y^2+3x+8y-5$を因数分解せよ．また，$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-2}{2},\ y=\frac{1}{\sqrt{7}-2}$のとき，$A$の値を求めよ．
(2)方程式$\displaystyle |-\abs{x|+4}=\frac{1}{2}x+1$の解を求めよ．
(3)$2$次関数$f(x)=ax^2+2ax+a+b$（$a,\ b$は定数）が区間$-2 \leqq x \leqq 2$において最大値$4$，最小値$1$をとるように$a,\ b$の値を定めよ．

$\mathrm{O}$を原点とし，$y>0$であるような点$\mathrm{A}(x,\ y)$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{B}(x,\ 0)$とする．いま，点$\mathrm{A}$を，$\mathrm{OA}+\mathrm{AB}=c$（$c$は正定数）という条件を満たすように選びたい．次の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$の座標$(x,\ y)$の満たすべき条件を$y=f(x)$の形の式で表しなさい．また，そのとき点$\mathrm{A}$の$x$座標のとりうる範囲も示しなさい．
(2)$c=2$とするとき，点$\mathrm{A}$の条件を満たす座標$(x,\ y)$のうち，$-1 \leqq x \leqq 1$の範囲での$x+y$の最大値と最小値を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)関数$f(t)=2t^3-3t^2+1 (0 \leqq t \leqq 1)$の最小値を求めよ．
(2)$(1)$を利用して，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$2 \cos^3 x-3 \cos^2 x+1>0$となることを示せ．
(3)関数$g(x)=\tan x+2 \sin x-3x$を微分せよ．
(4)$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$のとき，$\tan x+2 \sin x>3x$となることを示せ．

放物線$y=-x^2+1$上の点$(\alpha,\ -\alpha^2+1)$における接線を$\ell_1$とし，点$(\beta,\ -\beta^2+1)$における接線を$\ell_2$とする．ただし，$\alpha<0<\beta$で$\beta-\alpha=c$（一定）とする．

(1)接線$\ell_1$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_1$を$\alpha$で表せ．
(2)接線$\ell_2$と$y$軸および放物線で囲まれる部分の面積$S_2$を$\beta$で表せ．
(3)面積の和$S_1+S_2$が最小となるときの$\alpha,\ \beta$とそのときの最小値を$c$で表せ．

下図の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の$1$辺の長さは$1$である．線分$\mathrm{AH}$の中点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{HC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく．
（図は省略）

(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{a}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{b}+\frac{[オ]}{[カ]} \overrightarrow{c}$である．

(2)線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると，
\[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{[キク]}{[ケコ]} \overrightarrow{b}+\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{c} \]
である．
(3)次に，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる．線分$\mathrm{DT}$の長さは
\[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{b}-\frac{[ソ]}{[タ]} \overrightarrow{c} \]
のとき，最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]}$をとる．

$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える．$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ ab+[ア]b^2+[イ]=0 \]
である．この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ (a,\ b)=\left( [オカ],\ -\frac{[キ]}{[ク]} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -[ケコ],\ \frac{[サ]}{[シ]} \right) \]
である．