次の各問いに答えよ．

(1)次の$3$次式を$1$次式の積に因数分解せよ．
\[ x^3-2x^2-5x+6 \]
(2)$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2kx+3k-2=0 \]
が，相異なる$2$つの実数解を持つような，定数$k$の値の範囲を求めよ．
(3)$x$の変域が$-1 \leqq x \leqq 2$であるときの$2$次関数
\[ y=2x^2-3x+1 \]
の最大値と最小値を求めよ．
(4)$5$個の数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$を一回ずつ使って$4$桁の数を作る．このとき$3215$以上の数はいくつあるか求めよ．
(5)$2^{1000}$は何桁の数になるか．ただし，$\log_{10}2=0.30103$とする．
(6)図のような三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}=5:6:4$である．このとき$\sin A:\sin B:\sin C$を整数比で表せ．

（図は省略）

$f(x)=x^2+x+1$とおく．曲線$y=f(x)$に原点から引いた接線の方程式を$y=mx$，$y=m^\prime x (m<m^\prime)$とおく．また，それぞれの接点の$x$座標を$c,\ c^\prime$とおく．このとき，$c<0<c^\prime$である．実数$a$に対して連立不等式
\[ y \leqq f(x),\quad y \geqq mx,\quad y \geqq m^\prime x,\quad a \leqq x \leqq a+1 \]
の表す領域の面積を$S(a)$で表す．このとき，次の問に答えよ．

(1)定数$m,\ m^\prime,\ c,\ c^\prime$を求めよ．
(2)$0<a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$c \leqq a \leqq 0$のとき，$S(a)$を求めよ．
(4)$c \leqq a \leqq c^\prime$のとき，$S(a)$の最大値と最小値を求めよ．

座標平面上において，放物線$y=x^2$上に異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとり，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{M}$の座標を$(a,\ b)$とする．

(1)$a=1$，$b=3$のとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さ$\mathrm{PQ}$を求めなさい．
(2)$\mathrm{PQ}=4$のとき，$b$を$a$の式で表しなさい．
(3)$\mathrm{PQ}=4$を満たしながら$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かすとき，$b$の最小値を求めなさい．

$a$を正の実数とし，$t$を$0<t<a$を満たす実数とする．放物線$y=(x-a)^2$を$C$とし，$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ (t-a)^2)$における$C$の接線を$\ell$とする．$C$，$y$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_1$とおき，$C$，$x$軸および$\ell$で囲まれた図形の面積を$R_2$とおく．$t$が区間$0<t<a$の値をとって変化するとき，$R_1+R_2$の最小値とそのときの$t$を$a$で表せ．

$\displaystyle a=\frac{1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle b=\frac{1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{5}}$，$\displaystyle c=\frac{1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$，$\displaystyle d=\frac{1}{1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$とおく．

(1)$\displaystyle abcd=-\frac{1}{[ア][イ]}$である．
(2)$abc,\ abd,\ acd,\ bcd$の最小値は
\[ \frac{-[ウ]-[エ] \sqrt{3}-[オ] \sqrt{5}-[カ] \sqrt{15}}{[ア][イ]} \]
である．
(3)$ab+cd,\ ac+bd,\ ad+bc$の最小値は
\[ -\frac{[キ]}{[ア][イ]} \]
である．
(4)$a+b,\ a+c,\ a+d,\ b+c,\ b+d,\ c+d$の最小値は
\[ \frac{[ク][ケ]-[コ] \sqrt{3}-[サ] \sqrt{5}-[シ] \sqrt{15}}{[ア][イ]} \]
である．
(5)$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$
\[ =\frac{[ア][イ]x^4-[ス][セ]x^3+[ソ][タ]x^2+[チ]x-1}{[ア][イ]} \]
である．

平面上で点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円の内側に$\mathrm{OP}=1$となる点$\mathrm{P}$をとる．点$\mathrm{P}$で垂直に交わる$2$直線と円との交点を反時計回りの順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．

(1)$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$\displaystyle \frac{3}{5}$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は
\[ \frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]} \sqrt{[オ][カ]} \]
である．
(2)$\mathrm{O}$と直線$\mathrm{AC}$との距離が$h$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とおくと，
\[ S^2=-[キ]h^4+[ク]h^2+[ケ][コ] \]
であり，$S$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ] \sqrt{[ス]}$である．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{CDP}$の面積を$S_2$とおくと，
\[ S_1 \cdot S_2=\frac{[セ]}{[ソ]} \]
が成り立ち，$S_1+S_2$の最小値は$[タ]$であり，最大値は$[チ]$である．

関数$\displaystyle y=3 \log_8x+4 \log_4 4x-(\log_2x)^2 \left( \frac{1}{2} \leqq x \leqq 32 \right)$について考える．$t=\log_2x$とおく．

(1)$t$のとり得る値の範囲は$[クケ] \leqq t \leqq [コ]$である．
(2)$y=-t^2+[サ]t+[シ]$である．
(3)$y$は$x=[ス] \sqrt{[セ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ソタ]}{[チ]}$をとり，$x=[ツテ]$で最小値$[トナ]$をとる．

関数$\displaystyle f(x)=\log_2 8x \cdot \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\log_2x$とするとき，$f(x)$を$t$の関数$g(t)$として表せ．
(2)$(1)$で求めた関数を$s=g(t)$とするとき，この関数のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq 16$であるとき，$f(x)$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

$a$を正の定数とする．$2$つの放物線

$y=x^2-ax+1$
$y=-x^2+(a+4)x-3a+1$

がある．

(1)$2$つの放物線は異なる$2$点で交わる．その$x$座標を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$を$a$を用いて表せ．
(2)$2$つの放物線で囲まれる部分の面積$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(3)$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta < 2\pi$のとき，不等式$\displaystyle \sin \theta \geqq \frac{1}{2}$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)$\theta$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$f(\theta)=\sin \theta+\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．またそのときの$\theta$の値を求めよ．