つぎの連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x^2+y^2-1 \leqq 0,\quad 5x+5y+1 \geqq 0 \]
つぎの問いに答えなさい．

(1)領域$D$を図示しなさい．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が，この領域$D$内を動くとき，$x+\sqrt{3}y$の最大値および最小値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)関数$y=\sin^2 x+4 \sin x \cos x+5 \cos^2 x$の最大値と最小値を求めなさい．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^{99} \log_{10} \frac{k}{k+1}$を求めなさい．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^1 (x+1)e^x \, dx$を求めなさい．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$をとる．また$0<s<1$，$0<t<1$とし，線分$\mathrm{AB}$を$s:(1-s)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{OC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を，それぞれ$s,\ t$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle s=\frac{1}{4}$，$\displaystyle t=\frac{1}{2}$のときの$\angle \mathrm{APQ}$の大きさを$\theta$とする．このとき$\cos \theta$の値を求めなさい．ただし，$0^\circ<\theta<180^\circ$とする．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$l$とする．このとき$s,\ t$が，それぞれ$0<s<1$，$0<t<1$の範囲を動くときの$l$の最小値を求めなさい．

$k>0$として，座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる．また，点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，図のように，曲線$C$，直線$\ell_2$，$x$軸，$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標と，直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)$k$が$k>0$を動くとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，それを与える$k$の値を求めよ．

台形$\mathrm{ABCD}$において，$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$は平行，$\angle \mathrm{ABC}$は直角，$\mathrm{AD}=2$，$\mathrm{BC}=3$とする．点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動くとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}+4 \overrightarrow{\mathrm{PD}} \]
の長さの最小値を求めよ．また，最小値を与える$\mathrm{P}$について$\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{AB}}$を求めよ．

正の実数$x$に対して
\[ f(x)=\int_x^{2x} (t \log t-t) \, dt \]
とおく．$f(x)$の最小値と，最小値を与える$x$を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)関数$f(x)=2^2 \cdot 2^x+2^{-x}$の最小値は$[ハ]$である．
(2)関数$g(x)=16 \cdot 4^x+4^{-x}-40 \cdot 2^x-10 \cdot 2^{-x}+40$は，$x=[ヒフ]$または$[ヘ]$のとき最小値$[ホ]$をとる．ただし，$[ヒフ]<[ヘ]$である．

$a$を実数とするとき，$2$次関数
\[ f(x)=x^2+(3-2a)x+2a \]
について，以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$のグラフの頂点の座標を求めよ．
(2)$-1 \leqq x \leqq 1$でつねに$f(x) \geqq 0$となるときの$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$は$(2)$で求めた値の範囲を動くものとする．$-1 \leqq x \leqq 1$における$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$m$を$a$で表せ．また，$m$を$a$の関数とみるとき，この関数のグラフを図示せよ．

$\log x$は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a,\ b$は$e^{-1}<a<1,\ b>0$を満たす実数とする．曲線$C:y=\log x$と直線$\ell:y=ax+b$とが接しているとすると，
\[ b=[モ] \log a+[ヤ] \]
が成り立つ．このとき，曲線$C$と$3$つの直線$\ell$，$x=1$，$x=e$とで囲まれた図形の面積を$S(a)$とする．$a$が$e^{-1}<a<1$の範囲を動くときの$S(a)$の最小値は
\[ \left( [ユ]e+[ヨ] \right) \log \left( \frac{e+[ラ]}{[リ]} \right) +[ル] \]
で与えられる．
(2)$k$を正の定数とし，$e^{-k}<t<1$である$t$に対して，
\[ f(t)=\int_0^k |e^{-x|-t} \, dx \]
とおく．$t$が$e^{-k}<t<1$の範囲を動くときの関数$f(t)$の最小値を$M(k)$とおくと，
\[ M(k)=\left( [レ]+e^P \right)^2,\quad \text{ただし} P=\frac{[ロ]}{[ワ]}k \]
となる．このとき
\[ \lim_{k \to +0} \frac{M(k)}{k^2}=\frac{[ヲ]}{[ン]} \]
である．

次の各問いに答えよ．

(1)次の式を展開せよ．
\[ (x+1)(x-1)(2x+3)(3x-1) \]
(2)$m$は自然数である．$x$についての$2$次方程式
\[ x^2-2mx+6m-8=0 \]
が，実数解を持たないとき，$m$の値を求めよ．
(3)$0^\circ \leqq \theta \leqq 360^\circ$において，次の関数の最大値と最小値を求めよ．
\[ y=2 \sin^2 \theta+\cos \theta-2 \]
(4)次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_1^2 (3x^2+4x+2) \, dx \]
(5)大小$2$つのさいころを投げ，出た目の数をそれぞれ$a,\ b$とするとき，$|a-b| \geqq 3$となる確率を求めよ．
(6)半径$r$の球の体積$\displaystyle V=\frac{4 \pi r^3}{3}$を，$r$で微分して，導関数$V^\prime$を求めよ．これは，半径$r$の球の何を表しているか．