$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$a>0$とする．曲線$y=a^3x^2$を$C_1$とし，曲線$\displaystyle y=-\frac{1}{x} (x>0)$を$C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$に同時に接する直線を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)直線$\ell$と曲線$C_1,\ C_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．$a$が$a>0$の範囲を動くとき，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$間の距離の最小値を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-x} (0 \leqq x \leqq 1)$とする．

(1)関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=1$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell:y=2x$を考える．点Pが$C$上を，点Qが$\ell$上をそれぞれ動くとき，PQの最小値を求めよ．
(2)(1)で，PQが最小値をとる$C$上の点P，$\ell$上の点Qに対し，線分PQ，放物線$C$，直線$\ell$，及び$y$軸で囲まれた領域の面積を求めよ．
(3)放物線$C:y=x^2+6$，直線$\ell_k:y=2kx-5$を考える．点Pが$C$上を，点Rが$\ell_k$上をそれぞれ動いたときのPRの最小値が1となる$k$の値を求めよ．

$a$を実数とする．次の問いに答えよ．

(1)放物線$y=x^2-x+3a$と直線$y=3ax+2$は異なる$2$つの交点をもつことを示せ．
(2)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点をむすぶ線分の中点を$\mathrm{M}$とする．$a$が実数全体を動くとき，$\mathrm{M}$の$y$座標の最小値を求めよ．
(3)$(1)$の放物線と直線の$2$つの交点の$x$座標を$\alpha$と$\beta$とする．$a$が実数全体を動くとき，$|\alpha|+|\beta|$の最小値を求めよ．

$t$を実数とし，$\displaystyle f(t)=\int_0^2 |x^2-2x+1-t^2| \, dt$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(1)$の値を求めよ．
(2)$0<t<1$のとき，$f(t)$を求めよ．
(3)$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲にあるとき，$f(t)$の最小値を求めよ．

1辺の長さが1の正三角形ABCと，線分BCを$1:2$に内分する点Dが与えられている．実数$x \ (0 \leqq x \leqq 1)$に対し，線分AB上の点Pと線分AC上の点Qを$\text{AP}=\text{CQ}=x$となるように定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)線分ADの長さを求めよ．
(2)三角形DPQの面積$S$を$x$の式で表せ．
(3)(2)の$S$について，$S$の最大値と最小値を求めよ．
(4)(2)の$S$の値が$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}$となるとき，$x$の値を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+2$について，次の問いに答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減を調べ，極値を求めよ．また，グラフの概形をかけ．
(2)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最大値$M$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．
(3)$\displaystyle -\frac{a}{2} \leqq x \leqq a$における$f(x)$の最小値$m$を求めよ．ただし，$a$は定数で$a>0$とする．