「最小値」について
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国立 秋田大学 2012年 第3問$k$を実数とする．$xy$平面上の放物線$C:y=x^2+2x-2$と直線$\ell:y=kx$が異なる2点で交わるとし，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha<\beta$である．$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．
(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問$a$を正の定数とするとき，関数
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
\[ y=\left( \log_2 \frac{1+\sin x}{a} \right) \left( \log_4 \frac{1+\sin x}{2a} \right) \quad \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
の最小値を，$a$を用いて表せ．
国立 鹿児島大学 2012年 第2問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2012年 第1問曲線$y=\sqrt{x^2-1} (x \geqq 1)$上の点$\mathrm{P}(a,\ b) (a>1)$での接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$b$で表せ．
(2)$\mathrm{PQ}^2$の最小値を求めよ．
(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$b$で表せ．
(2)$\mathrm{PQ}^2$の最小値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第3問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
国立 和歌山大学 2012年 第4問$e$を自然対数の底とし，$1 \leqq a \leqq e$とする．
\[ S=\int_0^1 x(2|e^x-a|+a) \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を求めよ．
(2)$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$2.7<e<2.8$であることを用いてよい．
\[ S=\int_0^1 x(2|e^x-a|+a) \, dx \]
とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$S$を求めよ．
(2)$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$a$の値をそれぞれ求めよ．ただし，$2.7<e<2.8$であることを用いてよい．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
国立 三重大学 2012年 第2問座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．
(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．