「最小値」について
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国立 岩手大学 2012年 第2問関数$f(x)=2\sin^2 x+4\sin x +3\cos 2x$について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq x < 2\pi$である．
(1)$t=\sin x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=a$の相異なる解が$4$個であるような実数$a$の値の範囲を求めよ．
(1)$t=\sin x$とするとき，$f(x)$を$t$の式で表せ．
(2)$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x$の値をすべて求めよ．
(3)方程式$f(x)=a$の相異なる解が$4$個であるような実数$a$の値の範囲を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第4問箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．
(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(1)$m=M$となる確率を求めよ．
(2)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(3)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第4問箱の中に$1$から$9$までの異なる整数が$1$つずつ書かれたカードが$9$枚入っている．「箱からカードを$1$枚引き，カードに書かれた整数を記録して箱の中に戻す」という操作を$3$回繰り返す．記録された$3$つの整数の最小値を$m$，最大値を$M$とする．次の問いに答えよ．
(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．
(1)$5<m$となる確率および$M<5$となる確率を求めよ．
(2)$m \leqq 5 \leqq M$となる確率を求めよ．
(3)$k=1,\ 2,\ \cdots,\ 9$に対して，$m \leqq k \leqq M$となる確率を$p(k)$とする．$p(k)$の最大値，最小値を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第2問$x$の関数$f(x)=8^x+8^{-x}-9(4^x+4^{-x})+27(2^x+2^{-x})-26$について，次の各問いに答えよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
(1)$t=2^x+2^{-x}$とおく．$f(x)$を$t$の関数として表したものを$g(t)$とするとき，$g(t)$を求めよ．
(2)$t=2^x+2^{-x}$のとる値の範囲を求めよ．
(3)$t$が(2)で求めた範囲を動くとき，関数$y=g(t)$の増減を調べよ．
(4)$x \geqq 0$のとき，関数$f(x)$の最小値とその最小値を与える$x$の値を求めよ．
国立 新潟大学 2012年 第1問平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$を
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
によって定められる点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移す移動を考える．ここで，$a$は実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=1$が与えられているとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする．このとき$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は直線$\ell:Y=pX+q$上を動くとする．ただし$p,\ q$は実数とする．このとき$a$および$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$の$X$の最大値，最小値を求めよ．
\[ \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{cc}
1 & a \\
a & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \]
によって定められる点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$に移す移動を考える．ここで，$a$は実数とする．楕円$C:x^2+4y^2=1$が与えられているとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は円$D:X^2+Y^2=1$上を動くとする．このとき$a$の値を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$は直線$\ell:Y=pX+q$上を動くとする．ただし$p,\ q$は実数とする．このとき$a$および$p,\ q$の値を求めよ．
(3)(2)において，点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$C$上を動くとき，点$\mathrm{Q}(X,\ Y)$の$X$の最大値，最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$x,\ y$について，
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7 \]
の最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a$を負の実数とする．
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7=a \]
を満たす$x,\ y$が隣り合う整数のとき，$a$の最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(1)実数$x,\ y$について，
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7 \]
の最小値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(2)$a$を負の実数とする．
\[ 4x^2+12y^2-12xy+4x-18y+7=a \]
を満たす$x,\ y$が隣り合う整数のとき，$a$の最大値，およびそのときの$x,\ y$の値を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第3問$f(x)=\sqrt{2x-x^2},\ g(x)=xf(x)$とする．次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の定義域を求めよ．
(2)$g(x)$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$xy$平面上の曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 秋田大学 2012年 第1問$a$は$\displaystyle a>-\frac{1}{2}$を満たす実数とし，$f(x)=x^2-2ax$とおく．次の問いに答えよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．
(1)2次関数$y=f(x)$のグラフの頂点を求めよ．
(2)2次不等式$f(x) \geqq x$を解け．
(3)$x$が$f(x) \geqq x$を満たす範囲を動くとき，$f(x)$の最小値を求めよ．