「最小値」について
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国立 弘前大学 2012年 第3問関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+2x$について次の問いに答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)実数$a$に対して，$a \leqq x \leqq a+2$のときの$f(x)$の最小値を$g(a)$とおく．関数$b=g(a)$のグラフの概形を$ab$平面上にかけ．
国立 名古屋工業大学 2012年 第1問3次関数
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
\[ f(x)=x^3-(1+2\cos \theta)x^2+(1+2\cos \theta)x-1 \]
について，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta < 2\pi$とする．
(1)方程式$f(x)=0$の実数解を求めよ．
(2)関数$f(x)$が極値をもつための$\theta$の範囲を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を$g(\theta)$と表す．$\theta$を$0 \leqq \theta < 2\pi$の範囲で動かしたときの$g(\theta)$の最大値と最小値，および，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 佐賀大学 2012年 第3問関数$f(x)=2\sin x \cos x - \tan x+2x$について，次の問いに答えよ．
(1)区間$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{6},\ x=\frac{\pi}{3}$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
(1)区間$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{\pi}{3}$における$f(x)$の最大値および最小値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$\displaystyle x=-\frac{\pi}{6},\ x=\frac{\pi}{3}$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和を求めよ．
国立 大分大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
(1)実数係数の二次方程式$x^2+2bx+c=0$の解を$\alpha,\ \beta$とする．この方程式が異なる2つの実数解を持たないとき，$\alpha+\beta+\alpha\beta$の最小値を求めよ．
(2)$\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{3}$が無理数であることを示せ．
(3)動点Pが現在$x$軸上の原点にある．コイン1個とサイコロ1個を同時に投げ，コインが表であれば点Pはサイコロの目の数だけ正の方向に進み，コインが裏であればサイコロの目にかかわらず負の方向に2だけ進む．この試行を3回続けて行ったとき，点Pが原点にある確率を求めよ．
国立 大分大学 2012年 第4問$t$を実数とし，点$\mathrm{P}$の座標を$(t,\ -t^2)$とする．点Pと直線$\ell_1:2x+y+3=0$の距離を$d_1$とし，点$\mathrm{P}$と直線$\ell_2:2x-y+4=0$の距離を$d_2$とする．また，$d=d_1+d_2$とおく．
(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$(2)$のとき，$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．
(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$(2)$のとき，$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．
国立 大分大学 2012年 第3問$t$を実数とし，点Pの座標を$(t,\ -t^2)$とする．点Pと直線$\ell_1:2x+y+3=0$の距離を$d_1$とし，点Pと直線$\ell_2:2x-y+4=0$の距離を$d_2$とする．また，$d=d_1+d_2$とおく．
(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点Pが直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．
(1)$t=2$のとき，$d$の値を求めなさい．
(2)点Pが直線$\ell_1$上またはその上側にあるための$t$の条件を求めなさい．
(3)$d$の最小値とそのときの$t$の値を求めなさい．
国立 佐賀大学 2012年 第3問次の問いに答えよ．
(1)不等式$\log_{x(1-x)} \{x(y-1)\} \leqq 0$の表す領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が上の不等式の表す領域を動くとき，$2x+y$の最小値を求めよ．
(1)不等式$\log_{x(1-x)} \{x(y-1)\} \leqq 0$の表す領域を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が上の不等式の表す領域を動くとき，$2x+y$の最小値を求めよ．
国立 佐賀大学 2012年 第6問$a>0$のとき，放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$における$C$の接線を$\ell_1$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell_1$と垂直な直線を$\ell_2$とする．次の問いに答えよ．
(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．
(1)直線$\ell_2$と放物線$C$との交点のうち，点$\mathrm{P}$と異なる方を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$の座標を$a$の式で表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell_2$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$a$の式で表せ．
(3)(2)の$S$の最小値を求めよ．またそのときの$a$の値を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
国立 富山大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．
(1)連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
x^2+y^2-6y-16 \leqq 0 \\
y+3x-8 \geqq 0
\end{array}
\right. \]
の表す領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$y-2x$の最大値と最小値を求めよ．