「最小値」について
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国立 静岡大学 2012年 第4問関数
\[ y=4 \cos x \sin 2x -3\sqrt{3} \cos 2x -8 \sin x + \sqrt{3} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$t = \sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．
(2)$0 \leqq x < 2 \pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ y=4 \cos x \sin 2x -3\sqrt{3} \cos 2x -8 \sin x + \sqrt{3} \]
について，次の問いに答えよ．
(1)$t = \sin x$とおき，$y$を$t$の関数として表せ．
(2)$0 \leqq x < 2 \pi$のとき，$y$の最大値とそのときの$x$の値，および，$y$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 琉球大学 2012年 第2問次の問に答えよ．
(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．
(1)加法定理を用いて，$\cos 2x$および$\cos 3x$を$\cos x$で表せ．
(2)$0 \leqq x < 2\pi$のとき，関数$f(x)=\cos 3x+\cos 2x-2\cos x$の最大値および最小値を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第3問$\displaystyle f(\theta)=4\left(\sin^3 \frac{\theta}{2}+\cos^3 \frac{\theta}{2} \right)+6\left(\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2} \right)(\sin \theta -2)-\sqrt{6}(\sin \theta +1)$とおく．ただし，$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{3}{2}\pi$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle x=\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}$とおくとき，$f(\theta)$を$x$のみの式で表せ．
(2)$f(\theta)$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$\displaystyle x=\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}$とおくとき，$f(\theta)$を$x$のみの式で表せ．
(2)$f(\theta)$の最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第4問定数$a$は$0<a<1$をみたすとする．曲線$C:y=(x-1)^2$と$C$上の点$(a,\ (a-1)^2)$における接線$\ell$について，以下の問いに答えよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および2直線$x=0,\ x=1$とで囲まれた2つの部分の面積の和$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と2直線$x=0,\ y=0$とで囲まれ，接線$\ell$の上側にある2つの部分の面積の和$T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)曲線$C$と接線$\ell$および2直線$x=0,\ x=1$とで囲まれた2つの部分の面積の和$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
(3)曲線$C$と2直線$x=0,\ y=0$とで囲まれ，接線$\ell$の上側にある2つの部分の面積の和$T(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第2問点A$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{2} \right)$を不等式$y < 4x-4x^2$の表す領域内の点とし，点Aを通り傾き$m$の直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=4x-4x^2$で囲まれた部分の面積を$S$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．
(1)$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$m$を変化させたとき，$S$の最小値を$g(a)$とする．$g(a)$を与える$m$を$a$を用いて表せ．
(3)$g(a)$を最大にする$a$の値を求めよ．また，そのときの直線$\ell$の方程式を求めよ．
国立 滋賀大学 2012年 第3問3個のさいころを同時に投げる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)出る目の最小値が3以上になる確率を求めよ．
(2)3個のうち，いずれか2個の目の和が8になる確率を求めよ．
(3)出る目の最小値が2以下になり，かつどの2個の目の和も8でない確率を求めよ．
(1)出る目の最小値が3以上になる確率を求めよ．
(2)3個のうち，いずれか2個の目の和が8になる確率を求めよ．
(3)出る目の最小値が2以下になり，かつどの2個の目の和も8でない確率を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第4問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-x \cos t| \, dt \quad (x>0) \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$a>0$のとき，$a=\tan \theta$を満たす$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して，$\cos \theta$を$a$を用いて表せ．
(2)$f(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第1問$n \geqq 4$とする．$(n-4)$個の1と4個の$-1$からなる数列$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．
(2)数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1a_2 \cdots a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_k\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．
(1)このような数列$\{a_k\}$は何通りあるか求めよ．
(2)数列$\{a_k\}$の初項から第$k$項までの積を$b_k=a_1a_2 \cdots a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$とおく．$b_1+b_2+\cdots +b_n$がとり得る値の最大値および最小値を求めよ．
(3)$b_1+b_2+\cdots +b_n$の最大値および最小値を与える数列$\{a_k\}$はそれぞれ何通りあるか求めよ．
国立 熊本大学 2012年 第3問正の定数$a$に対して，関数$f(x)$を
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-ax \cos t| \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
\[ f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\sin t-ax \cos t| \, dt \]
とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 弘前大学 2012年 第2問点$(a,\ b)$は円周$x^2+y^2=1$上を動くとする．
(1)$t=a+b$とおくとき，$a+ab+b$を$t$の式で表せ．
(2)$a+ab+b$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t=a+b$の値をそれぞれ求めよ．
(1)$t=a+b$とおくとき，$a+ab+b$を$t$の式で表せ．
(2)$a+ab+b$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$t=a+b$の値をそれぞれ求めよ．