実数$x,\ y$が条件：$x^2+2xy+9y^2=6$を満たすとき，次の問に答えよ．

(1)$x+3y$のとり得る値の範囲を求めよ．
(2)$z=(x-3y)^2+2(x+3y)$の最大値と最小値を求めよ．

次の各問いに答えなさい．

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\perm{n}{r}=[　] \times \perm{n-1}{r-1}$が成り立つとき，$[　]$にあてはまる文字を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(5)$a>0,\ a \neq 1,\ xyz \neq 0$とする．$2^x=3^y=a^z$と$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$が成り立つとき，$a$の値を求めなさい．

関数$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x (0 \leqq x \leqq 2\pi)$について以下の問いに答えなさい．

(1)$\cos x=t$とおくとき，$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$を$t$の関数として表しなさい．
(2)$t$の取り得る範囲を求めなさい．
(3)$y=4 \cos^3 x+3 \sin^2 x-6 \cos x$の最大値と最小値を求めなさい．またそのときの$x$の値も求めなさい．

次の各問いに答えなさい．

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい．
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．
(4)$\pi$を円周率（$3.14159 \cdots$）とするとき，次の無限数列の和$S$を求めなさい．

$S=3.14159\cdots$
$\qquad +0.314159\cdots$
$\qquad\qquad +0.0314159\cdots$
$\qquad\qquad\qquad +0.00314159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad +0.0003.14159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cdots\cdots$

(5)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1-x} \, dx$を求めなさい．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$と，傾きが$a$で点$(1,\ 1)$を通る直線がある．このとき放物線と直線に囲まれた図形の面積$S$の最小値を求めなさい．

$a,\ b$をいずれも正の数とする．次の問いに答えよ．

(1)$x$を正の数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ a^{x+1}+b^{x+1} \geqq ab^x+a^xb \]
(2)$n$を自然数とするとき，次の不等式を証明せよ．
\[ \left( \frac{a+b}{2} \right)^n \leqq \frac{a^n+b^n}{2} \]
(3)$a+b \sqrt{2}=4$のとき，$a^4+4b^4$の最小値を求めよ．

放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある．ただし，$a<b$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$が囲む部分の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle S=\frac{(b-a)^3}{6}$であることを示せ．
(2)$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を固定する．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して，放物線$C$と線分$\mathrm{AP}$が囲む部分の面積を$S_1$，放物線$C$と線分$\mathrm{BP}$が囲む部分の面積を$S_2$とする．$a<t<b$のとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．
(3)常に$\displaystyle S=\frac{9}{2}$であるように，$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$が放物線$C$上を動く．このとき，線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．

$a$を正の実数とする．点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を定点とし，点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$を放物線$C:y=x^2$上の点とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AP}$と放物線$C$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$での$C$の接線$m$と$x$軸との交点を$\mathrm{S}$とする．このとき$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$，線分$\mathrm{RS}$，線分$\mathrm{SQ}$および放物線$C$の一部である曲線$\mathrm{PQ}$によって囲まれる部分の面積$T(a)$を$a$を用いて表せ．
(4)$T(a)$の最小値を求めよ．

関数$f(x)$を$f(x)=x^2-2x$と定める．このとき，実数$t$に対して，$t-1 \leqq x \leqq t+2$における$f(x)$の最小値を$m(t)$で表す．次の問に答えなさい．

(1)$m(0),\ m(3)$を求めなさい．
(2)$y=m(t)$のグラフを描きなさい．

定数$a_1<a_2<a_3< \cdots$に対して，連続関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ \cdots)$が$f_1(x)=|x-a_1|$，$f_{n+1}(x)=f_n(x)+|x-a_{n+1|}$によって定義されている．

(1)$a_1=1,\ a_2=2$のとき，$f_2(x)$の最小値を求めよ．
(2)$a_1=1,\ a_2=2,\ a_3=3$のとき，$f_3(x)$の最小値を求めよ．
(3)$n$が$2$以上の自然数であるとき，$f_n(x)$の最小値を求めよ．