「最小値」について
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私立 青山学院大学 2013年 第4問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$がある．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle t=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}$とする．このとき，$0 \leqq t \leqq 1$である．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，線分$\mathrm{PB}$の長さの最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた最小値が$1$となるような点$(a,\ b)$全体が作る図形を，座標平面上に図示せよ．
(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，線分$\mathrm{PB}$の長さの最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた最小値が$1$となるような点$(a,\ b)$全体が作る図形を，座標平面上に図示せよ．
私立 青山学院大学 2013年 第3問$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{2}$を満たす直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$について，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AB}$と平行で点$\mathrm{D}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{AD}=t$とし，$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$のとき，三角形$\mathrm{ABC}$を直線$\ell$のまわりに$1$回転させてできる回転体の体積を$V(t)$とする．
(1)$V(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$V(t)$の最小値を求めよ．
(1)$V(t)$を$t$を用いて表せ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t \leqq \frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$V(t)$の最小値を求めよ．
私立 早稲田大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2013年 第5問関数$\displaystyle f(x)=\left( {27}^x+\frac{1}{{27}^x} \right)-5 \left( 9^x+\frac{1}{9^x} \right)-5 \left( 3^x+\frac{1}{3^x} \right)+1$について次の問に答えよ．
(1)$\displaystyle t=3^x+\frac{1}{3^x}$とおくとき，$t$の最小値は$[ヒ]$である．
(2)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\log_3 \left( [フ] \pm \sqrt{[ヘ]} \right)$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
(1)$\displaystyle t=3^x+\frac{1}{3^x}$とおくとき，$t$の最小値は$[ヒ]$である．
(2)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\log_3 \left( [フ] \pm \sqrt{[ヘ]} \right)$のとき，最小値$[ホ]$をとる．
私立 早稲田大学 2013年 第1問$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．
(1)どのような$2$次関数$f(x)$に対しても
\[ \int_0^2 f(x) \, dx \]
の値は，$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$を用いて$[ア]$と表せる．
(2)$k$を実数とする．$xy$平面上の直線$y-2=k(x-1)$と放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積は，$k=[イ]$のとき最小値$[ウ]$をとる．
(3)$p$を$5$以上の素数とする．$p^3$を$p-4$で割った余りが$4$であるとき，$p=[エ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^{2013} \frac{\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}{|\sin \displaystyle\frac{2n\pi|{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}}=[オ]$
(1)どのような$2$次関数$f(x)$に対しても
\[ \int_0^2 f(x) \, dx \]
の値は，$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$を用いて$[ア]$と表せる．
(2)$k$を実数とする．$xy$平面上の直線$y-2=k(x-1)$と放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積は，$k=[イ]$のとき最小値$[ウ]$をとる．
(3)$p$を$5$以上の素数とする．$p^3$を$p-4$で割った余りが$4$であるとき，$p=[エ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^{2013} \frac{\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}{|\sin \displaystyle\frac{2n\pi|{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}}=[オ]$
私立 早稲田大学 2013年 第5問空間内に平面$P$がある．空間内の図形$A$に対し，$A$の各点から$P$に下ろした垂線と$P$との交点の全体を，$A$の$P$への正射影とよぶ．次の問に答えよ．
(1)平面$Q$が平面$P$と角$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交線に垂直な平面で$P,\ Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)$(1)$の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．
(3)$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^\prime$はどんな形か．また，$T^\prime$の面積の最大値を求めよ．
(1)平面$Q$が平面$P$と角$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$で交わっているとする．すなわち，$P$と$Q$の交線に垂直な平面で$P,\ Q$を切ってできる$2$直線のなす角が$\theta$であるとする．$Q$上の長さ$1$の線分の$P$への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)$(1)$の$Q$を考える．$Q$上の$1$辺の長さが$1$である正三角形の$P$への正射影の面積を求めよ．
(3)$1$辺の長さが$1$である正四面体$T$の$P$への正射影$T^\prime$はどんな形か．また，$T^\prime$の面積の最大値を求めよ．
私立 早稲田大学 2013年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$において，図のように$\mathrm{AW}=\mathrm{BX}=\mathrm{CY}=\mathrm{DZ}$となる点$\mathrm{W}$，$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$をとる．四角形$\mathrm{WXYZ}$に内接する円を$C_0$とし，$\triangle \mathrm{AWZ}$，$\triangle \mathrm{BXW}$，$\triangle \mathrm{CYX}$，$\triangle \mathrm{DZY}$に内接する円をそれぞれ$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$とする．$\mathrm{AW}=x$，$\mathrm{ZW}=a$とおくとき
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）
\[ a^2=[セ]x^2+[ソ]x+1 \quad (0<x<1) \]
となる．円$C_0$，$C_1$，$C_2$，$C_3$，$C_4$の面積の総和を$S$とすると
\[ S=\frac{\pi}{4} \left( [タ]a^2+[チ]a+[ツ] \right) \]
となり，$\displaystyle a=\frac{[ト]}{[テ]}$のとき，$S$は最小値$\displaystyle \frac{\pi}{[ナ]}$をとる．
（図は省略）
私立 早稲田大学 2013年 第5問平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．
(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．
(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．
私立 中京大学 2013年 第1問以下の各問で，$[ ]$にあてはまる数値または記号を求めよ．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は
$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$
をとり，
$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$
をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．
(1)放物線$y=ax^2+bx+c$が$3$点$(-3,\ -15)$，$(0,\ -24)$，$(3,\ 21)$を通るとき，
\[ a=[ア],\quad b=[イ],\quad c=-[ウ][エ] \]
であり，この放物線と$x$軸との交点は$(-[オ],\ 0)$，$([カ],\ 0)$である．
(2)点$\mathrm{O}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の内心とする．$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$，$\angle \mathrm{ABO}={35}^\circ$のとき，
\[ \angle \mathrm{ACO}={[キ][ク]}^\circ,\quad \angle \mathrm{BOC}={[ケ][コ][サ]}^\circ \]
である．
(3)関数$\displaystyle y=\frac{1}{3} {\left( \frac{1}{8} \right)}^x-2 {\left( \frac{1}{4} \right)}^x+3 {\left( \frac{1}{2} \right)}^x+1 (x>-2)$は
$x=[シ]$で最大値$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$
をとり，
$x=-\log_2 [ソ]$で最小値$[タ]$
をとる．
(4)条件$a_1=0$，$\displaystyle a_n=a_{n-1}+\frac{n-1}{2013} (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$において，$a_n \geqq 1$を満たす最小の$n$は$[チ][ツ]$であり，
\[ a_{[チ][ツ]}=\frac{[テ][ト][ナ]}{[ニ][ヌ][ネ]} \]
である．
私立 東京医科大学 2013年 第4問関数$\displaystyle f(x)=\frac{1+4x}{1+\sqrt{x}} (x \geqq 0)$を考える．
(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}-\sqrt{[ウ]}$のとき最小値$[エ] \sqrt{[オ]}-[カ]$をとる．
(2)座標平面上の曲線$C:y=f(x) (x \geqq 0)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[キク]}{[ケ]}-[コサ] \log 2 \]
である．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[ア]}{[イ]}-\sqrt{[ウ]}$のとき最小値$[エ] \sqrt{[オ]}-[カ]$をとる．
(2)座標平面上の曲線$C:y=f(x) (x \geqq 0)$と$x$軸，$y$軸および直線$x=1$とで囲まれた部分の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[キク]}{[ケ]}-[コサ] \log 2 \]
である．ただし，対数は自然対数とする．