$2$次関数$y=2x^2-4ax+a^2+a$の$0 \leqq x \leqq 3$における最小値が$0$となるような定数$a$の値をすべて求めよ．

関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[　]$のとき$[　]$であり，最小値は$x=[　]$のとき$[　]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[　]$である．

$\displaystyle f(x)=\frac{\cos 5x}{\cos x} \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$とする．

(1)$\cos 4x=a \cos^2 2x+b$をみたす定数$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$\cos 4x=l \cos^4 x+m \cos^2 x+n$をみたす定数$l,\ m,\ n$の値を求めよ．
(3)$\sin 4x \sin x=(p \cos^4 x+q \cos^2 x+r) \cos x$をみたす定数$p,\ q,\ r$の値を求めよ．
(4)$f(x)$の最小値を求めよ．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[　]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[　]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[　]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$がある．辺$\mathrm{OA}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{OC}$上の点とするとき，

(1)線分$\mathrm{PQ}$の長さを求めよ．
(2)三角形$\mathrm{PQC}$の面積を求めよ．
(3)$\mathrm{R}$が辺$\mathrm{OC}$上を動くとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積の最小値を求めよ．
(4)頂点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{PQR}$を含む平面に垂線$\mathrm{OH}$を引く．点$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{PQR}$の内部にあるとき，$\mathrm{OR}=r$の取りうる値の範囲を求めよ．ただし三角形の内部とはその周を含まないものとする．

以下の各問いに答えなさい．

(1)関数$y=(x+1)(3-x)$のグラフの頂点の座標を求めなさい．
(2)頂点の座標が点$(-2,\ 1)$で，点$(-3,\ -1)$を通る$2$次関数を求めなさい．
(3)$(2)$で求めた$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動するとき，$2$次関数$y=ax^2+bx+c$のグラフになるとする．この定数$a,\ b,\ c$の値を求めなさい．
(4)$a$を正の定数とする．$2$次関数$y=ax^2+2ax+b$は，区間$-1 \leqq x \leqq 0$における最大値が$2$，最小値が$-2$とする．このとき，定数$a,\ b$の値を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

実数$t$に対し，一辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AB}$を$2t:(1-2t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$，辺$\mathrm{BO}$を$3t:(1-3t)$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は正三角形$\mathrm{OAB}$の辺上にあり，いずれの頂点とも一致しないものとする．

(1)$t$がとる値の範囲は$[　]$である．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．

(i) $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[　]$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を使って表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[　]$となる．
(iii) $\displaystyle \angle \mathrm{QPR}=\frac{\pi}{2}$となるのは，$t=[　]$のときである．

(3)三角形$\mathrm{PQR}$の面積を$S$とする．$S$を$t$を使って表し，また$S$の最小値を求めなさい．

関数$f(x)$は次の等式を満たすものとする．
\[ \int_1^x f(t) \, dt=x^3+3x^2 \int_0^1 f(t) \, dt+x+k \]
ただし，$k$は定数とする．

(1)$f(x)=[ア]x^2-[イ]x+[ウ]$であり，$k=[エ]$である．関数$f(x)$は$x=[オ]$のとき最小値$[カキ]$をとる．
(2)関数$y=g(x)$のグラフと関数$y=f(x)$のグラフが，直線$x=3$に関して対称であるとすると
\[ g(x)=[ク]x^2-[ケコ]x+[サシ] \]
である．$y=g(x)$のグラフと$x$軸との共有点の$x$座標は
\[ \frac{[スセ] \pm \sqrt{[ソ]}}{[タ]} \]
であり，$y=g(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分の面積は
\[ \frac{[チ] \sqrt{[ツ]}}{[テ]} \]
である．

$xy$平面に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$3$頂点の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$となっている．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=[ウ]$，$n=[エ]$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=[オ]$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3)$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$[カ]$である．またそのとき$\mathrm{BP}=[キ]$となる．
(4)$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$[ク]$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=[ケ]$となる．

次の問いに答えよ．

(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．

(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．

(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．

(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．

(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．