「最小値」について
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私立 日本女子大学 2013年 第3問平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 1)$がある．$t$を$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$を満たす実数とする．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{OA}$上で$\mathrm{AP}=t$となるようにとる．直線$y=1$上の$\mathrm{A}$より右側の部分に点$\mathrm{S}$を$\mathrm{PO}=\mathrm{PS}$となるようにとる．$\angle \mathrm{OPS}$の二等分線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．
(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{AS}$の長さを$t$で表せ．
(2)$\mathrm{OR}$の長さを$t$で表せ．
(3)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t<\frac{1}{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{PR}$の長さの最小値を求めよ．また，$\mathrm{PR}$の長さを最小にする$t$の値を求めよ．
（図は省略）
私立 北海道薬科大学 2013年 第4問関数$\displaystyle f(x)=2 \cos^3 x-8 \sin x \cos x-2 \sin^3 x+6 \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，次の設問に答えよ．
(1)$\cos x-\sin x$の最小値は$[アイ]$であり，最大値は$[ウ]$である．
(2)$f(x)$を$t=\cos x-\sin x$で表した関数を$g(t)$とおくと
\[ g(t)=[エ]t^3+[オ]t^2+[カ]t+[キ] \]
である．
(3)$f(x)$の最大値は$[ク]$，最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サシ]}$である．
(1)$\cos x-\sin x$の最小値は$[アイ]$であり，最大値は$[ウ]$である．
(2)$f(x)$を$t=\cos x-\sin x$で表した関数を$g(t)$とおくと
\[ g(t)=[エ]t^3+[オ]t^2+[カ]t+[キ] \]
である．
(3)$f(x)$の最大値は$[ク]$，最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サシ]}$である．
私立 北海道薬科大学 2013年 第1問次の各設問に答えよ．
(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
(1)$a,\ b$が有理数である$x^2+ax+b=0$の一つの解が$2+\sqrt{3}$であるとき方程式
\[ ax^2-7x+2b=0 \]
の解は$\displaystyle x=[アイ],\ \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(2)$x$を実数とすると$\displaystyle x^2+\frac{100}{x^2+1}$の最小値は$[オカ]$であり，そのときの$x$の値は$[キク],\ [ケ]$である．
(3)$\mathrm{RISUKU}$の$6$文字をバラバラにして一列に並べるとき，$\mathrm{KUSURI}$という文字になる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サシス]}$である．
(4)$\displaystyle \int_{-3}^3 (x+1) |x-2| \, dx$の値は$\displaystyle \frac{[セソ]}{[タ]}$である．
私立 神奈川大学 2013年 第1問次の空欄を適当に補え．
(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．
(1)$x$が$x^2+x+1=0$を満たすとする．このとき$2x^4-x^3-2x^2-4x+2$の値は$[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)方程式$3^{2x+1}+2^3 \cdot 3^x-3=0$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$2$つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$に対して，$2 \overrightarrow{a}+3 \overrightarrow{b}$の大きさが$\sqrt{7}$のとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)$t>0$とする．$3$次関数$y=x^3-3x^2-9x+t$のグラフと$x$軸との共有点がただ$1$つのとき，定数$t$の値の範囲は$[$(\mathrm{d])$}$である．
(5)$\mathrm{A}$を含む男子$4$人と$\mathrm{B}$を含む女子$5$人が$1$列に並ぶ．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う確率は$[$(\mathrm{e])$}$である．また，男子が隣り合わない確率は$[$(\mathrm{f])$}$である．
(6)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-3 \log (x+2)$の最小値は$[$(\mathrm{g])$}$である．
私立 津田塾大学 2013年 第2問次の問に答えよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\sin \theta+\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\sin \theta+\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
(2)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，$\sin^3 \theta+\cos^3 \theta$の最大値と最小値を求めよ．
私立 愛知工業大学 2013年 第2問$xy$平面において，曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} (x>0)$を$C_1$とする．
(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)点$(x,\ y)$が曲線$C_1$上を動くとき，$x^2+2y$の最小値$k$を求めよ．
(2)$(1)$の$k$の値に対して，曲線$x^2+2y=k$を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸の正の部分との交点を$(a,\ 0)$とする．このとき，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$および直線$x=a$で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第1問次の$[ ]$にあてはまる答を記せ．ただし，$(5)$において，必要ならば$\log_{10}2=0.3010$を用いてよい．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
(1)$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=1:3$である三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{OM}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とし，$\angle \mathrm{AOB}$の大きさを$\theta$とする．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$を表すと，$\overrightarrow{\mathrm{NA}}=[ ] \overrightarrow{a}-[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{ON}}$と$\overrightarrow{\mathrm{NA}}$が垂直であるとき，$\cos \theta$の値は$[ ]$である．
(2)$(x+2y+3z)^6$の展開式における$x^4y^2$の係数は$[ ]$であり，$x^3y^2z$の係数は$[ ]$である．
(3)点$(x,\ y)$が不等式$x^2+y^2 \leqq 4$の表す領域を動くとする．このとき，$3x+y$は，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最大値$[ ]$をとり，$x=[ ]$，$y=[ ]$において最小値$[ ]$をとる．
(4)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの袋があり，$\mathrm{A}$には赤球$2$個と白球$2$個，$\mathrm{B}$には白球$1$個と青球$3$個，さらに，$\mathrm{C}$には赤球$2$個と白球$1$個と青球$1$個が入っている．いま，$\mathrm{A}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{B}$から$1$個の球を取り出し，$\mathrm{C}$から$1$個の球を取り出す．
(i) 取り出した$3$個の球の色が$1$種類となる確率は$[ ]$である．
(ii) 取り出した$3$個の球の色が$2$種類となる確率は$[ ]$である．
(iii) 取り出した$3$個の球の色が$3$種類となる確率は$[ ]$である．
(5)条件$a_1=5$，$a_{n+1}=2a_n-3$によって定まる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[ ]$で与えられる．この数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_8$の値は$[ ]$であり，不等式$\displaystyle \frac{S_n}{3}>n+16666$を満たす正の整数$n$のうちで最小のものは$[ ]$である．
私立 埼玉工業大学 2013年 第2問$y=3 \cos \theta-\sin^2 \theta+3$に関し，以下の問いに答えよ．ただし，$0 \leqq \theta<2\pi$とする．
(1)$\theta=[ ] \pi$のとき，$y$は最小値$[ ]$をとる．$\theta=[ ] \pi$のとき，$y$は最大値$[ ]$をとる．
(2)$\displaystyle y=\frac{15}{4}$となるときの$\theta$の値は$[ ]$個あり，それらの中で最大のものは$\displaystyle \theta=\frac{[ ]}{[ ]} \pi$である．
(1)$\theta=[ ] \pi$のとき，$y$は最小値$[ ]$をとる．$\theta=[ ] \pi$のとき，$y$は最大値$[ ]$をとる．
(2)$\displaystyle y=\frac{15}{4}$となるときの$\theta$の値は$[ ]$個あり，それらの中で最大のものは$\displaystyle \theta=\frac{[ ]}{[ ]} \pi$である．
私立 千葉工業大学 2013年 第2問次の各問に答えよ．
(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．
(1)関数$f(x)=8 \cos 2x+9 \tan^2 x$は，$\displaystyle f(x)=[アイ] \cos^2 x+\frac{[ウ]}{\cos^2 x}-[エオ]$と変形できる．$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において，$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{[カ]}{[キ]} \pi$のとき最小値$[ク]$をとる．
(2)$x$の不等式$\log_a(x+1)^2>\log_a \{9(x+5)\}$の解は，$a>1$のとき，$[ケコ]<x<[サシ]$，$[スセ]<x$であり，$0<a<1$のときは，$[サシ]<x<[ソタ]$，$[ソタ]<x<[スセ]$である．
私立 千葉工業大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．
(1)$\mathrm{A}$地点から$15 \, \mathrm{km}$離れた$\mathrm{B}$地点まで行くのに，初めは時速$4 \, \mathrm{km}$で歩き，途中から時速$6 \, \mathrm{km}$で歩くことにする．$\mathrm{A}$地点を出発後，$3$時間以内に$\mathrm{B}$地点に到着するためには，時速$4 \, \mathrm{km}$で歩ける距離は最大で$[ア] \, \mathrm{km}$である．
(2)半径$2 \sqrt{6}$の円に内接する正三角形の$1$辺の長さは$[イ] \sqrt{[ウ]}$である．
(3)中心が$(-2,\ 3)$で，$y$軸に接する円の方程式は$x^2+y^2+[エ]x-[オ]y+[カ]=0$である．
(4)$3^n$の一の位の数字が$1$になる正の整数$n$の最小値は$[キ]$であり，$3^{102}$の一の位の数字は$[ク]$である．
(5)数直線上の集合$A=\{x \;|\; 2<x<9 \}$，$B=\{x \;|\; k<x<k+2 \}$（ただし，$k$は定数）において，$A \cap B$が空集合となるような$k$の値の範囲は$k \leqq [ケ]$または$[コ] \leqq k$である．
(6)白玉$3$個，赤玉$5$個の計$8$個の玉が入った箱の中から同時に$4$個の玉を取り出すとき，白玉も赤玉もともに取り出される確率は$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(7)方程式$\displaystyle 9^x=\frac{3}{27^x}$の解は$\displaystyle x=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(8)関数$f(x)=-2x^3-6x^2+9$の極大値は$[チ]$，極小値は$[ツ]$である．